Задача Задача №3389659
А
А
Рассчитать дисперсию для случайной величины Z, равномерно распределённой на отрезке [-3, 3].
Задача: найти дисперсию случайной величины Z, равномерно распределённой на отрезке [-3, 3].
План решения (для непрерывной равномерной дистрибуции на [a, b]):
- Плотность: f(z) = 1/(b - a) на [a, b].
- Математическое ожидание: E[Z] = ∫ z f(z) dz.
- Можем посчитать E[Z^2] = ∫ z^2 f(z) dz.
- Дисперсия: Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2.
В нашем случае a = -3, b = 3, поэтому f(z) = 1/6 на [-3, 3].
E[Z] = ∫{-3}^{3} z · (1/6) dz = (1/6) · [z^2/2]{-3}^{3} = (1/12) · (9 - 9) = 0.
E[Z^2] = ∫{-3}^{3} z^2 · (1/6) dz = (1/6) · [z^3/3]{-3}^{3} = (1/18) · (27 - (-27)) = 54/18 = 3.
Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 = 3 - 0^2 = 3.
Ответ: Var(Z) = 3. Стандартное отклонение σ = sqrt(3) ≈ 1.732.
