Реши задачи

Ниже подробные решения задач из варианта 1. 1) Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Скорость течения равна 4 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде. - Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как v (км/ч). - Скорость против течения: v - 4 км/ч. - Скорость по течению (обратно): v + 4 км/ч. - Время в пути против течения: t_up = 77/(v - 4). - Время обратного пути по течению: t_down = 77/(v + 4). По условию t_down на 2 часа меньше t_up: 77/(v + 4) = 77/(v - 4) - 2. Упростим уравнение. Можно привести к виду: 2 = 77[(1/(v - 4)) - (1/(v + 4))] = 77[(v + 4 - (v - 4))/((v - 4)(v + 4))] = 77*8/(v^2 - 16) = 616/(v^2 - 16). Отсюда: v^2 - 16 = 616/2 = 308 -> v^2 = 324 -> v = 18 км/ч (положительное значение). Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч. 2) Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий? - Обозначим скорость второго рабочего как r2 (деталей в час). Тогда первый рабочий делает r1 = r2 + 10 деталей в час. - Время на 60 деталей для второго: t2 = 60/r2. - Время на 60 деталей для первого: t1 = 60/r1 = 60/(r2 + 10). Условие: первый finishes на 3 часа быстрее второго, значит t2 = t1 + 3. 60/r2 = 60/(r2 + 10) + 3. Решим уравнение: 60/r2 - 60/(r2 + 10) = 3 60[(r2 + 10) - r2] / (r2(r2 + 10)) = 3 60*10 / (r2^2 + 10r2) = 3 600 / (r2^2 + 10r2) = 3 r2^2 + 10r2 = 200 r2^2 + 10r2 - 200 = 0. Дискриминант D = 10^2 - 4*1*(-200) = 100 + 800 = 900, корень √D = 30. r2 = [-10 ± 30]/2. Положительный корень: (20)/2 = 10. Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час, первый — 20 деталей в час. Ответ: второй рабочий — 10 деталей в час. 3) Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч больше, чем второй, и приближается к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость второго велосипедиста. - Пусть скорость второго велосипедиста = v (км/ч). Тогда скорость первого = v + 16. - Время первого: t1 = 105/(v + 16). - Время второго: t2 = 105/v. Условие: первый приходит на 4 часа позже или раньше? В формулировке: первый едет быстрее и приближается к финишу на 4 часа раньше второго. Значит t1 = t2 - 4, то есть t2 - t1 = 4. Решим уравнение: 105/v - 105/(v + 16) = 4. Упростим: 105[ (v + 16) - v ] / (v(v + 16)) = 4 105*16 / (v^2 + 16v) = 4 1680 / (v^2 + 16v) = 4 v^2 + 16v = 420 v^2 + 16v - 420 = 0. Дискриминант D = 16^2 - 4*1*(-420) = 256 + 1680 = 1936, корень √D = 44. v = [-16 ± 44]/2. Положительный корень: (28)/2 = 14. Скорость второго велосипедиста = 14 км/ч. Тогда скорость первого = 14 + 16 = 30 км/ч. Время обоих участников: t2 = 105/14 = 7.5 ч, t1 = 105/30 = 3.5 ч, разница 4 ч, условие выполняется. Ответ: второй велосипедист едет со скоростью 14 км/ч (первый — 30 км/ч). Если хочешь, могу проверить решения другим способом или разобрать каждую задачу подробнее.