реши задачи

Ниже пошаговые решения к задачам 1–5.

Задача 1 Условие: В треугольнике ABC угол A равен 38°, AC = BC. Решение:

• AC = BC значит, что треугольник ABC isisosceles с основаниям AB, следовательно углы при основаниях равны: ∠A = ∠B.
• Дано ∠A = 38°, значит ∠B тоже 38°.
• Сумма углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. 38° + 38° + ∠C = 180° ⇒ ∠C = 180° − 76° = 104°. Ответ: 104°.

Задача 2 Условие: В треугольнике ABC AD — биссектриса, ∠C = 30°, ∠BAD = 22°. Найдите ∠ADB. Решение:

• AD — биссектриса угла A, значит ∠BAD = ∠CAD. Тогда ∠A = ∠BAD + ∠CAD = 22° + 22° = 44°.
• Сумма углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Здесь ∠A = 44°, ∠C = 30°, значит ∠B = 180° − 44° − 30° = 106°.
• Точка D лежит на BC, поэтому ∠ABD = ∠ABC = ∠B = 106°.
• В треугольнике ABD сумма углов: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°. 22° + 106° + ∠ADB = 180° ⇒ ∠ADB = 52°. Ответ: 52°.

Задача 3 Условие: В треугольнике ABC ∠C = 58°, AD и BE — биссектрисы, они пересекаются в O. Найдите ∠AOB. Решение:

• AD и BE — биссектрисы углов A и B соответственно, их пересечение O — центр вписанной окружности (инцентр) треугольника.
• Известное свойство: угол между лучами OA и OB в инцентрe равен ∠AOB = 90° + ∠C/2. ∠AOB = 90° + 58°/2 = 90° + 29° = 119°. Ответ: 119°.

Задача 4 Условие: В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65°, BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите ∠DOE. Решение:

• BD — высота, BD ⟂ AC. CE — высота, CE ⟂ AB. Точку пересечения O назовём ортоцентром.
• Поскольку DO лежит на BD, a EO лежит на CE, угол DOE равен углу между двумя высотами BD и CE.
• Угол между двумя высотами равен либо ∠A, либо его supplementary (в зависимости от того, какую ветвь угла мы берем). Внутренний угол треугольника DOE (помимо DE) образует obtuse угол, равный 180° − ∠A. ∠DOE = 180° − 65° = 115°. Примечание: острый угол между высотами равен 65°, но угол DOE (как внутренний угол треугольника DOE) равен 115°. Ответ: 115°.

Задача 5 Условие: В прямоугольном треугольнике ABC угол между высотой, проведённой из вершины прямого угла, и биссектрисой из той же вершины равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника. Решение:

• Пусть прямой угол находится в A, т.е. ∠A = 90°. Пусть ∠B = β, тогда ∠C = 90° − β.
• Высота AH из вершины A на BC перпендикулярна BC. Угол между AH и AB равен 90° − β (так как угол между BC и AB равен β, а AH перпендикулярна BC).
• Биссектриса AO из угла A образует с AB угол 45° (так как ∠A = 90°).
• Угол между AH и AO равен |(90° − β) − 45°| = |45° − β|.
• По условию этот угол равен 21°. Поэтому либо β = 24°, либо β = 66°.
• Меньший угол треугольника — это min(β, 90° − β). При β = 24° меньший угол равен 24°. При β = 66° меньший угол равен 90° − 66° = 24°. Всегда получается 24°. Ответ: 24°.

Итоговые ответы:

1. 104°
2. 52°
3. 119°
4. 115°
5. 24°