√(а^4 +2с^4 +3а^2 ×с^2)

Задача: sqrt(a^4 + 2 c^4 + 3 a^2 c^2)

Пошаговое решение

1. Введём переменные X и Y для упрощения распознавания квадратов: X = a^2, Y = c^2. Тогда под корнем получится выражение X^2 + 3XY + 2Y^2.

2. Факторизация квадратичного полинома в X и Y: X^2 + 3XY + 2Y^2 = (X + Y)(X + 2Y). Проверка: (X + Y)(X + 2Y) = X^2 + 2XY + XY + 2Y^2 = X^2 + 3XY + 2Y^2.

3. Возвращаемся к переменным a и c: radicand = (a^2 + c^2)(a^2 + 2 c^2).

4. Берём квадратный корень: sqrt(a^4 + 2 c^4 + 3 a^2 c^2) = sqrt((a^2 + c^2)(a^2 + 2 c^2)) = sqrt(a^2 + c^2) · sqrt(a^2 + 2 c^2).

Замечания

• Для любых действительных a и c оба множителя под корнем неотрицательны: a^2 + c^2 ≥ 0 и a^2 + 2c^2 ≥ 0, поэтому выражение определено и равенство sqrt((a^2 + c^2)(a^2 + 2 c^2)) = sqrt(a^2 + c^2) sqrt(a^2 + 2 c^2) справедливо.
• Это окончательная форма упрощения. Если нужно, можно оставить как один корень от произведения: sqrt((a^2 + c^2)(a^2 + 2 c^2)).