f(x) =x-lnx X=[1/2;3]

Задача: рассмотреть функцию f(x) = x − ln x на интервале X = [1/2, 3] и найти её экстремумы и образ.

1. Область определения

• ln x определён для x > 0. interval [1/2, 3] полностью лежит в области определения, значит можно анализировать на этом отрезке.

2. Производная и критические точки

• f'(x) = d/dx (x − ln x) = 1 − 1/x.
• Равенство нулю: f'(x) = 0 при x = 1.
• Знак производной:
  • для x ∈ (1/2, 1): x < 1 => 1/x > 1 ⇒ f'(x) < 0 — функция убывает.
  • для x ∈ (1, 3]: x > 1 ⇒ 1/x < 1 ⇒ f'(x) > 0 — функция возрастает.

3. Экстремумы на (части) отрезка

• Поскольку f уменьшается на [1/2, 1] и возрастает на [1, 3], минимум достигается в точке x = 1, максимум — в одной из концов отрезка, в данном случае в x = 3 (сравним значения у концов).
• Значения:
  • f(1/2) = 1/2 − ln(1/2) = 1/2 + ln 2 ≈ 0.5 + 0.6931 = 1.1931
  • f(1) = 1 − ln 1 = 1
  • f(3) = 3 − ln 3 ≈ 3 − 1.0986 = 1.9014

4. Вывод

• Минимум на [1/2, 3] достигается в x = 1: f_min = f(1) = 1.
• Максимум на [1/2, 3] достигается в x = 3: f_max = f(3) = 3 − ln 3 ≈ 1.9014.
• Следовательно, образ функции на этом отрезке (границы значения) равен промежутку: f([1/2, 3]) = [1, 3 − ln 3].

Дополнительно

• Можно отметить, что вторая производная f''(x) = 1/x^2 > 0 для x > 0, поэтому функция выпуклая и имеющая глобальный минимум в точке x = 1 на всей области определения, что согласуется с найденными экстремумами на заданном отрезке.