F(x) =x-lnx X=[1/2;3]

Задача: рассмотреть функцию f(x) = x − ln x на интервале X = [1/2, 3] и найти её экстремумы и образ. 1) Область определения - ln x определён для x > 0. interval [1/2, 3] полностью лежит в области определения, значит можно анализировать на этом отрезке. 2) Производная и критические точки - f'(x) = d/dx (x − ln x) = 1 − 1/x. - Равенство нулю: f'(x) = 0 при x = 1. - Знак производной: - для x ∈ (1/2, 1): x < 1 => 1/x > 1 ⇒ f'(x) < 0 — функция убывает. - для x ∈ (1, 3]: x > 1 ⇒ 1/x < 1 ⇒ f'(x) > 0 — функция возрастает. 3) Экстремумы на (части) отрезка - Поскольку f уменьшается на [1/2, 1] и возрастает на [1, 3], минимум достигается в точке x = 1, максимум — в одной из концов отрезка, в данном случае в x = 3 (сравним значения у концов). - Значения: - f(1/2) = 1/2 − ln(1/2) = 1/2 + ln 2 ≈ 0.5 + 0.6931 = 1.1931 - f(1) = 1 − ln 1 = 1 - f(3) = 3 − ln 3 ≈ 3 − 1.0986 = 1.9014 4) Вывод - Минимум на [1/2, 3] достигается в x = 1: f_min = f(1) = 1. - Максимум на [1/2, 3] достигается в x = 3: f_max = f(3) = 3 − ln 3 ≈ 1.9014. - Следовательно, образ функции на этом отрезке (границы значения) равен промежутку: f([1/2, 3]) = [1, 3 − ln 3]. Дополнительно - Можно отметить, что вторая производная f''(x) = 1/x^2 > 0 для x > 0, поэтому функция выпуклая и имеющая глобальный минимум в точке x = 1 на всей области определения, что согласуется с найденными экстремумами на заданном отрезке.