Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 109° и ∠OAB = 48°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 61

Пошаговое решение:

1. Так как O – центр окружности, точки A и B лежат на окружности, значит OA = OB. В треугольнике AOB это неравенство даёт: ∠OAB = ∠OBA = 48°. Следовательно ∠AOB = 180° − 2·48° = 84°.

2. Угол ∠ACB является вписанным и опирается на дугу AB. Measure дуги AB равна центральному углу ∠AOB, то есть 84°. Значит ∠ACB = 1/2 · 84° = 42°.

3. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. У нас известны ∠ABC = 109° и ∠ACB = 42°. Поэтому ∠CAB = 180° − 109° − 42° = 29°.

4. Угол ∠BAC (то же, что ∠CAB) равен 29°. Этот угол вписанный и опирается на дугу BC, значит дуга BC имеет меру 2·29° = 58°, что эквивалентно центральному углу ∠BOC = 58°.

5. В треугольнике OBC радиусы OB и OC равны, значит он является равнобедренным. Следовательно углы при основаниях BC равны: ∠OBC = ∠BCO = (180° − ∠BOC)/2 = (180° − 58°)/2 = 61°.

Итак, угол ∠BCO равен 61°.