Постройте график функции (x^8-x^7+x^6+x^5-x^4+x^3+x^2-x+1) : (x^2-x+1) * (2x-2x^4) : (x^9-1)
Цель задачи: понять, как построить график данного выражения и какие упрощения можно сделать.
Дано выражение: [(x^8 - x^7 + x^6 + x^5 - x^4 + x^3 + x^2 - x + 1) : (x^2 - x + 1)] * (2x - 2x^4) : (x^9 - 1). Здесь двоеточие означает деление.
Шаг 1. Раскроем первую скобку: найдем разложение A = x^8 - x^7 + x^6 + x^5 - x^4 + x^3 + x^2 - x + 1 на (x^2 - x + 1). Проверяем деление A на B = x^2 - x + 1. Получаем: A = (x^2 - x + 1) (x^6 + x^3 + 1). Ремни нет, деление без остатка.
Значит A / B = x^6 + x^3 + 1.
Шаг 2. Перепишем выражение с учетом найденного: Его вид: (x^6 + x^3 + 1) * (2x - 2x^4) / (x^9 - 1).
Шаг 3. Разложим знаменатель и числитель:
- Знаменатель: x^9 - 1 = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1).
- Числитель: 2x - 2x^4 = 2x(1 - x^3) = -2x (x^3 - 1).
Теперь вид выражения: [(x^6 + x^3 + 1) * (-2x) (x^3 - 1)] / [(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)].
Шаг 4. Существует общее ненулевое множитель (x^6 + x^3 + 1) и (x^3 - 1) в числителе и знаменателе, поэтому можно сократить: F(x) = -2x, при условии, что исходное выражение определено, т.е. x^9 - 1 ≠ 0.
Пределения области (домена):
- Исходное выражение определено, когда x^9 ≠ 1.
- Это эквивалентно исключению девяти корней единицы. В вещественной плоскости это исключение всего одно число: x ≠ 1.
Итак, упрощение даёт простой результат: F(x) = -2x, на домене x^9 ≠ 1.
График:
- На вещественной оси график будет линейной функцией y = -2x (множитель угла наклона равно -2).
- Единственное исключение — точки разрыва: все x such that x^9 = 1. В реальных числах это x = 1. Поэтому график — прямая с наклоном -2 через начало координат, за исключением точки x = 1, где график имеет пустую точку (холл).
Кратко:
- Упрощение: (A/B) * (2x - 2x^4) / (x^9 - 1) = -2x, при x^9 ≠ 1.
- График: прямая y = -2x с точкой разрыва в x = 1 (для вещественных значений).
Примечание: если рассматривать комплексную плоскость, дырок будет 9 (на все корни x^9 = 1). Для школьного графика чаще ограничиваются Real, тогда дырка только в x = 1.
