8+2√7 представить в виде квадарата

Задача: 8 + 2√7 представить в виде квадрата.

Цель: понять и подробно разобрать.

Решение:

• Пусть 8 + 2√7 можно записать как (√x + √y)^2, где x и y положительные.
• Раскрываем скобки: (√x + √y)^2 = x + y + 2√(xy).
• Сравниваем с данным числом: x + y = 8 и xy = 7.
• Решаем систему для x и y. Это корни уравнения t^2 - 8t + 7 = 0, чей дискриминант D = 64 - 28 = 36. Корни: t = (8 ± 6)/2 = 1 и 7.
• Значит x = 1, y = 7 (порядок не важен).

Следовательно: 8 + 2√7 = (√1 + √7)^2 = (1 + √7)^2.

Проверка: (1 + √7)^2 = 1 + 7 + 2√7 = 8 + 2√7.