Даны очки A (-1;5;3), B (-1;3;9), C (3;-2;6). Доказать, что треугольник ABC - прямоугольный.

Задача: точки A(-1, 5, 3), B(-1, 3, 9), C(3, -2, 6). Нужно проверить, является ли треугольник ABC прямоугольным. Чтобы проверить, прямой ли угол в каком-то вершине, удобнее всего использовать скалярное произведение векторов смежных сторон. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю — угол между ними прямой. 1) Найдём векторы сторон - AB = B − A = (-1 - (-1), 3 - 5, 9 - 3) = (0, -2, 6) - AC = C − A = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3) - BC = C − B = (3 - (-1), -2 - 3, 6 - 9) = (4, -5, -3) 2) Проверим прямой угол в каждой вершине - В A: AB · AC = 0·4 + (-2)·(-7) + 6·3 = 0 + 14 + 18 = 32 ≠ 0 → угол A не прямой - В B: BA · BC, где BA = A − B = (0, 2, -6), BC = (4, -5, -3) BA · BC = 0·4 + 2·(-5) + (-6)·(-3) = -10 + 18 = 8 ≠ 0 → угол B не прямой - В C: CA · CB, где CA = A − C = (-4, 7, -3), CB = B − C = (-4, 5, 3) CA · CB = (-4)(-4) + 7·5 + (-3)·3 = 16 + 35 - 9 = 42 ≠ 0 → угол C не прямой 3) Вывод по прямым углам Ни одно скалярное произведение не равно нулю, значит ни один из углов треугольника ABC не прямой. Следовательно, треугольник ABC не прямоугольный. 4) Дополнительная проверка (через длины сторон) - |AB|^2 = 0^2 + (-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 - |AC|^2 = 4^2 + (-7)^2 + 3^2 = 16 + 49 + 9 = 74 - |BC|^2 = 4^2 + (-5)^2 + (-3)^2 = 16 + 25 + 9 = 50 Проверяем теорему Пифагора для любых сочетаний: - 40 + 74 = 114 ≠ 50 - 40 + 50 = 90 ≠ 74 - 74 + 50 = 124 ≠ 40 Это ещё раз подтверждает, что треугольник не прямоугольный. Итог: С учетом данных координат треугольник ABC не является прямоугольным. Все три угла острые. Если задача требует именно прямого треугольника, возможно в условии ошибка в координатах или в формулировке; можно попробовать подобрать другие координаты, удовлетворяющие перпендикулярности, например, подобрать C так, чтобы AB ⟂ AC (условие 3Cz − Cy − 4 = 0 для A, если взять Cz произвольным). В любом случае метод проверки остаётся тот же: вычислить векторы сторон и их скалярные произведения.