боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 27. найдите объем пирамиды.

Задача: боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и каждое равно 27. Найти объём.

Решение

• Пусть вершина пирамиды с вершиной O — apex, а A, B, C — основания возле O. Данно: OA, OB, OC взаимно перпендикулярны и имеют длину 27.
• Введём координаты: OA = (27, 0, 0), OB = (0, 27, 0), OC = (0, 0, 27). Тогда вершины пирамиды: O = (0,0,0), A = (27,0,0), B = (0,27,0), C = (0,0,27).
• Объём тетраэдра OABC равен |det(A, B, C)| / 6, где A, B, C — векторы OA, OB, OC.
• Вычислим детерминант: det|27 0 0; 0 27 0; 0 0 27| = 27·27·27 = 19683.
• Значит объём V = 19683 / 6 = 6561/2 = 3280.5 кубических единиц.

Ответ: V = 6561/2 (или 3280.5) единиц³.