Задача решается через разбиение отрезка на периодическое повторение синуса (через отрезки [0, 2π] и [2π, 3π]).
1) sin x = √3/2
- Арифметика: arcsin(√3/2) = π/3.
- В интервале [0, 2π] корни: x = π/3 и x = π − π/3 = 2π/3.
- Чтобы получить решения в [0, 3π], добавляем период 2π:
π/3 + 2π = 7π/3, 2π/3 + 2π = 8π/3.
- Итого корни на [0, 3π]: {π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3}.
2) sin x = √2/2
- arcsin(√2/2) = π/4.
- В [0, 2π] корни: x = π/4 и x = 3π/4.
- Добавляем 2π: π/4 + 2π = 9π/4, 3π/4 + 2π = 11π/4.
- Итого на [0, 3π]: {π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4}.
3) sin x = −√2/2
- arcsin(−√2/2) = −π/4, но в [0, 2π] решение даётся в третьей и четвёртой четвертях: x = 5π/4 и x = 7π/4.
- Добавлять 2π не нужно, потому что следующее добавление выходит за пределы [0, 3π].
- Итого на [0, 3π]: {5π/4, 7π/4}.
4) sin x = −√3/2
- arcsin(−√3/2) = −π/3, в [0, 2π] это x = 4π/3 и x = 5π/3.
- Добавление 2π даёт значения за пределами 3π, поэтому оставляем как есть.
- Итого на [0, 3π]: {4π/3, 5π/3}.
Ответы:
- Для sin x = √3/2: x ∈ {π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3}.
- Для sin x = √2/2: x ∈ {π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4}.
- Для sin x = −√2/2: x ∈ {5π/4, 7π/4}.
- Для sin x = −√3/2: x ∈ {4π/3, 5π/3}.
