(25^x-2*5^x)^2 +6*5^x ≤3*25^x+180x/x

Задача: (25^x - 2·5^x)^2 + 6·5^x ≤ 3·25^x + 180x/x

1. ПределDomain

• Уравнение содержит 180x/x, значит x ≠ 0. Остальные значения x допустимы.
• Обозначим t = 5^x. Поскольку 5^x > 0, имеем t > 0 и 25^x = (5^x)^2 = t^2.

2. Перепишем неравенство через t ( t^2 - 2t )^2 + 6t ≤ 3 t^2 + 180 Раскроем и перенесем все влево: (t^2 - 2t)^2 + 6t - 3t^2 - 180 ≤ 0 t^4 - 4t^3 + t^2 + 6t - 180 ≤ 0

3. Факторизация t^4 - 4t^3 + t^2 + 6t - 180 = (t - 5)(t + 3)(t^2 - 2t + 12)

Заметим, что t^2 - 2t + 12 = (t - 1)^2 + 11 > 0 для всех t, потому оно положительно и не влияет на знак неравенства.

Следовательно знак неравенства определяется только (t - 5)(t + 3).

4. Решение по t (т - 5)(t + 3) ≤ 0, при t > 0 Это дает диапазон t ∈ (0, 5].

5. Обратно в x t = 5^x ∈ (0, 5] означает 5^x ≤ 5. Поскольку база 5 > 1, неравенство 5^x ≤ 5 эквивалентно x ≤ 1.

Учитывая домен x ≠ 0, получаем множество решений: x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, 1]

6. Примеры проверки

• x = 1: LHS = (25 - 10)^2 + 6·5 = 15^2 + 30 = 255; RHS = 3·25 + 180 = 75 + 180 = 255. Равенство верно.
• Любое x < 1 и x ≠ 0 удовлетворяет неравенству (строго меньше на промежутке), т.к. основной фактор даёт ≤ 0.

Итак, решение: x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, 1].