.

Ниже подробные решения по пунктам 4–12.

4. Найдите tan(α + 5π/2) при tan α = 0.4

• 5π/2 = 2π + π/2, и тангенс имеет период π, поэтому tan(α + 5π/2) = tan(α + π/2).
• tan(α + π/2) = −cot α = −1/tan α.
• tan α = 0.4 = 2/5, значит tan(α + 5π/2) = −1/(2/5) = −5/2 = −2.5. Ответ: −5/2.

5. Найдите (3 cos α − 4 sin α) / (2 sin α − 5 cos α), если tan α = 3

• Пусть sin α = s, cos α = c. Тогда s/c = 3 ⇒ s = 3c.
• Подставим: (3c − 4s) / (2s − 5c) = (3c − 4·(3c)) / (2·(3c) − 5c) = (3c − 12c) / (6c − 5c) = (−9c)/c = −9. Ответ: −9.

6. Найдите tan α, если (7 sin α + 13 cos α) / (5 sin α − 17 cos α) = 3

• Обозначим s = sin α, c = cos α. Тогда 7s + 13c = 3(5s − 17c) = 15s − 51c.
• Перепишем: 7s + 13c = 15s − 51c ⇒ −8s + 64c = 0 ⇒ s = 8c.
• Тангенс tan α = s/c = 8. Ответ: 8.

7. Найдите значение выражения 7 cos(π + β) − 2 sin(π/2 + β), если cos β = 1/3

• cos(π + β) = −cos β = −1/3.
• sin(π/2 + β) = cos β = 1/3.
• Выражение: 7(−1/3) − 2(1/3) = (−7 − 2)/3 = −9/3 = −3. Ответ: −3.

8. Найдите 9 cos 2α, если cos α = 1/3

• cos 2α = 2 cos^2 α − 1 = 2(1/3)^2 − 1 = 2/9 − 1 = −7/9.
• 9 cos 2α = 9 · (−7/9) = −7. Ответ: −7.

9. Найдите −47 cos 2α, если cos α = −0.4

• cos α = −2/5 ⇒ cos^2 α = 4/25.
• cos 2α = 2 cos^2 α − 1 = 2·(4/25) − 1 = 8/25 − 1 = −17/25.
• −47 cos 2α = −47 · (−17/25) = 799/25 = 31.96. Ответ: 799/25 (или 31.96).

10. Найдите значение выражения cos^2 14° + 3 + cos^2 76°

• 76° = 90° − 14°, поэтому cos^2 76° = sin^2 14°.
• cos^2 14° + sin^2 14° = 1.
• Итого: 1 + 3 = 4. Ответ: 4.

11. Найдите значение выражения (35 cos 11°) / (sin 79°) + 7

• sin 79° = cos 11°.
• Так что (35 cos 11°) / (sin 79°) = 35 cos 11° / cos 11° = 35.
• Добавляем 7: 35 + 7 = 42. Ответ: 42.

12. Найдите значение tg α, если cos α = −√10/10 и α ∈ (π/2, π)

• cos α = −√10/10 ⇒ cos^2 α = 10/100 = 1/10.
• sin α = √(1 − cos^2 α) = √(1 − 1/10) = √(9/10) = 3/√10. Так как α во второй четверти, sin α > 0.
• tan α = sin α / cos α = (3/√10) / (−√10/10) = −3. Ответ: −3.