В

Задача: для параллелепипеда ABCDEMKF на ребрах AB, AD и AE отмечены точки Z (середина AB), Y (середина AD) и X (на AE). Нужно построить сечение параллелепипеда плоскостью through X, Y, Z. 1) Введение координат (общий случай средней школы) - Пусть AB = a (по оси x), AD = b (по оси y), AE = c (по оси z). - Поместим вершину A в точку (0, 0, 0). - Тогда B = (a, 0, 0), D = (0, b, 0), E = (0, 0, c). - Остальные вершины параллелепипеда не нужны для решения. 2) Координаты отмеченных точек - Y — середина AD: Y = (0, b/2, 0) - Z — середина AB: Z = (a/2, 0, 0) - X — точка на AE: X = (0, 0, t), где t ∈ (0, c) (любая внутренняя точка на AE) 3) Уравнение плоскости через X, Y, Z Плоскость P, проходящая через X, Y и Z, имеет вид z = αx + βy + γ. Подставим точки: - из X: t = α·0 + β·0 + γ ⇒ γ = t - из Y: 0 = α·0 + β·(b/2) + γ ⇒ 0 = β(b/2) + t ⇒ β = -2t/b - из Z: 0 = α·(a/2) + β·0 + γ ⇒ 0 = α(a/2) + t ⇒ α = -2t/a Итак, уравнение плоскости: z = -(2t/a) x - (2t/b) y + t. 4) Пересечения плоскости с гранями параллелепипеда - Со дном z = 0 (нижняя грань ABCD): 0 = -(2t/a) x - (2t/b) y + t ⇒ (2/a)x + (2/b)y = 1 Это прямой отрезок между Y и Z (он же YZ), т.е. плоскость пересекает нижнюю грань по отрезку YZ. - Со стенкой x = 0 (левая грань ADFE, содержит AE и AD): z = -(2t/b) y + t Эта линия идёт от Y к X, т.е. XY лежит на этой грани. - Со стенкой y = 0 (левая передняя грань ABME, содержит AB и AE): z = -(2t/a) x + t Эта линия идёт от Z к X, т.е. ZX лежит на этой грани. - Со всеми прочими гранями пересечение отсутствует при 0 < t < c (плоскость не достигает верхней грани и не выходить за боковые грани). 5) Вывод Сечение параллелепипеда плоскостью через X, Y и Z — треугольник XYZ. - Его стороны лежат на трёх боковых/нижней гранях: - XY — на грани A-D-F-E (плоскость x = 0) - YZ — на нижней грани ABCD (плоскость z = 0) - ZX — на грани A-B-M-E (плоскость y = 0) 6) Примечание на случай конкретных значений - Если t = 0, X совпадает с A и сечение degenerate до прямой через A и середины Y и Z. - Если t = c (плоскость проходит через E), сечение может поменять форму, но для общего положения 0 < t < c треугольник XYZ сохраняется. Как это нарисовать на чертеже: - Соедините X с Y вдоль грани A-D-F-E ( XY ). - Соедините Y с Z вдоль нижней грани ABCD ( YZ ). - Соедините Z с X вдоль грани ABME ( ZX ). - Заштривайте полученный треугольник XYZ — это искомое сечение параллелепипеда.