В

Задача: для параллелепипеда ABCDEMKF на ребрах AB, AD и AE отмечены точки Z (середина AB), Y (середина AD) и X (на AE). Нужно построить сечение параллелепипеда плоскостью through X, Y, Z.

1. Введение координат (общий случай средней школы)

• Пусть AB = a (по оси x), AD = b (по оси y), AE = c (по оси z).
• Поместим вершину A в точку (0, 0, 0).
• Тогда B = (a, 0, 0), D = (0, b, 0), E = (0, 0, c).
• Остальные вершины параллелепипеда не нужны для решения.

2. Координаты отмеченных точек

• Y — середина AD: Y = (0, b/2, 0)
• Z — середина AB: Z = (a/2, 0, 0)
• X — точка на AE: X = (0, 0, t), где t ∈ (0, c) (любая внутренняя точка на AE)

3. Уравнение плоскости через X, Y, Z Плоскость P, проходящая через X, Y и Z, имеет вид z = αx + βy + γ. Подставим точки:

• из X: t = α·0 + β·0 + γ ⇒ γ = t
• из Y: 0 = α·0 + β·(b/2) + γ ⇒ 0 = β(b/2) + t ⇒ β = -2t/b
• из Z: 0 = α·(a/2) + β·0 + γ ⇒ 0 = α(a/2) + t ⇒ α = -2t/a

Итак, уравнение плоскости: z = -(2t/a) x - (2t/b) y + t.

4. Пересечения плоскости с гранями параллелепипеда

• Со дном z = 0 (нижняя грань ABCD): 0 = -(2t/a) x - (2t/b) y + t ⇒ (2/a)x + (2/b)y = 1 Это прямой отрезок между Y и Z (он же YZ), т.е. плоскость пересекает нижнюю грань по отрезку YZ.
• Со стенкой x = 0 (левая грань ADFE, содержит AE и AD): z = -(2t/b) y + t Эта линия идёт от Y к X, т.е. XY лежит на этой грани.
• Со стенкой y = 0 (левая передняя грань ABME, содержит AB и AE): z = -(2t/a) x + t Эта линия идёт от Z к X, т.е. ZX лежит на этой грани.
• Со всеми прочими гранями пересечение отсутствует при 0 < t < c (плоскость не достигает верхней грани и не выходить за боковые грани).

5. Вывод Сечение параллелепипеда плоскостью через X, Y и Z — треугольник XYZ.

• Его стороны лежат на трёх боковых/нижней гранях:
  • XY — на грани A-D-F-E (плоскость x = 0)
  • YZ — на нижней грани ABCD (плоскость z = 0)
  • ZX — на грани A-B-M-E (плоскость y = 0)

6. Примечание на случай конкретных значений

• Если t = 0, X совпадает с A и сечение degenerate до прямой через A и середины Y и Z.
• Если t = c (плоскость проходит через E), сечение может поменять форму, но для общего положения 0 < t < c треугольник XYZ сохраняется.

Как это нарисовать на чертеже:

• Соедините X с Y вдоль грани A-D-F-E ( XY ).
• Соедините Y с Z вдоль нижней грани ABCD ( YZ ).
• Соедините Z с X вдоль грани ABME ( ZX ).
• Заштривайте полученный треугольник XYZ — это искомое сечение параллелепипеда.