найти корни уравнения 2|x²+2x-5|=x-1
Разберём задачу 2|x²+2x-5| = x-1 пошагово.
Ограничение области определения Левая часть неотрицательна, значит правая тоже не может быть отрицательной. Поэтому x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. Итак, ищем корни только на промежутке x ≥ 1.
Разобьём по знаку выражения под модулем Пусть f(x) = x² + 2x − 5. Найдём корни f(x) и знаки на участке x ≥ 1. Корни f(x): x = -1 ± √6. При открывающейся вверх параболе:
- f(x) < 0 на интервале (-1-√6, -1+√6) ≈ (-3.449, 1.449)
- f(x) ≥ 0 на x ≥ -1+√6 ≈ 1.449
Следовательно, в пределах x ≥ 1 у нас две подзадачи:
- Case A: 1 ≤ x < -1+√6 (примерно 1 ≤ x < 1.449), где f(x) < 0, значит |f(x)| = −f(x).
- Case B: x ≥ -1+√6 (то есть x ≥ примерно 1.449), где f(x) ≥ 0, значит |f(x)| = f(x).
- Case A: 1 ≤ x < -1+√6, f(x) < 0 2|f(x)| = x−1 становится 2(−f(x)) = x−1. -2(x² + 2x − 5) = x − 1 -2x² − 4x + 10 = x − 1 -2x² − 5x + 11 = 0 2x² + 5x − 11 = 0 x = [-5 ± √(25 + 88)]/4 = [-5 ± √113]/4.
Из этих чисел в интервале [1, -1+√6) подходит только: x = (-5 + √113)/4 ≈ 1.4075.
Case B: x ≥ -1+√6 f(x) ≥ 0, значит |f(x)| = f(x). 2f(x) = x − 1 → 2(x² + 2x − 5) = x − 1 2x² + 4x − 10 = x − 1 2x² + 3x − 9 = 0 x = [-3 ± √(9 + 72)]/4 = [-3 ± 9]/4. Варианты: x = (−3 + 9)/4 = 6/4 = 3/2 = 1.5 и x = (−3 − 9)/4 = −3. Только x = 3/2 удовлетворяет условию x ≥ -1+√6 ≈ 1.449.
Итог Получаем два корня:
- x = (-5 + √113)/4 ≈ 1.4075
- x = 3/2 = 1.5
Проверка на подстановке:
- При x = 3/2: f(1.5) = 1.5² + 2·1.5 − 5 = 2.25 + 3 − 5 = 0.25; 2|f| = 0.5; x−1 = 0.5. Работает.
- При x = (-5 + √113)/4 ≈ 1.4075: f(x) отрицательно, |f| = −f, и обе стороны равны по вычислению в процессе разложения. Работает.
Ответ: x = (-5 + √113)/4 и x = 3/2.
