реши номер 628

Задача 628: В тетраэдре ABCD точка K — середина медианы BB1 грани BCD. Разложите AK по векторам a = AB, b = AC, c = AD.

Пусть A — начало координат. Тогда

• B = a, C = b, D = c.
• B1 — середина CD, значит B1 = (C + D)/2 = (b + c)/2.
• BB1 — медиана в треугольнике BCD; K — её середина, значит K = (B + B1)/2 = (a + (b + c)/2)/2 = (2a + b + c)/4.

Так как AK — это вектор от A к K, а A — начало координат, то AK = K = (2a + b + c)/4.

Итак, AK = (1/2) a + (1/4) b + (1/4) c, то есть AK = 0.5 AB + 0.25 AC + 0.25 AD.