(2+√12i)⁵

Задача: (2 + √12 i)^5

Пояснение по шагам

1. Упростим √12: √12 = 2√3, поэтому выражение становится (2 + 2√3 i)^5 = [2(1 + √3 i)]^5.

2. Вынесем степень из множителя: [2(1 + √3 i)]^5 = 2^5 (1 + √3 i)^5 = 32 (1 + √3 i)^5.

3. Преобразуем комплексное число 1 + √3 i в тригонометрическую форму.

   • Модуль: r = √(1^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2.
   • аргумент: θ = arctan(√3 / 1) = π/3 (первый квадрант). Значит, 1 + √3 i = 2 (cos π/3 + i sin π/3) = 2 cis(π/3).

4. Возведем в пятую степень: (1 + √3 i)^5 = [2 cis(π/3)]^5 = 2^5 cis(5π/3) = 32 (cos 5π/3 + i sin 5π/3). cos 5π/3 = 1/2, sin 5π/3 = -√3/2, поэтому (1 + √3 i)^5 = 32(1/2 - i√3/2) = 16 - 16√3 i.

5. Вернемся к исходному выражению: (2 + √12 i)^5 = 32 (1 + √3 i)^5 = 32(16 - 16√3 i) = 512 - 512√3 i.

Ответ: 512 − 512√3 i (или 512(1 − √3 i)).

Дополнительная проверка:

• Модуль исходного числа: |2 + √12 i| = √(4 + 12) = 4, поэтому |(2 + √12 i)^5| = 4^5 = 1024.
• Модуль полученного результата: √(512^2 + (512√3)^2) = 512√(1 + 3) = 512·2 = 1024. Совпадает.

Итог: 512 − 512√3 i.