Найти обратную матрицу А= 3 -4 5 2 -3 1 3 -5 -1

Задача: найти обратную матрицу A^-1 для A = [ [3, -4, 5], [2, -3, 1], [3, -5, -1] ]. Пошаговое решение 1) Найдем детерминант det(A) Обозначим A как | 3 -4 5 | | 2 -3 1 | | 3 -5 -1 | det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg), где a=3, b=-4, c=5, d=2, e=-3, f=1, g=3, h=-5, i=-1. - ei − fh = (-3)(-1) − (1)(-5) = 3 + 5 = 8 - di − fg = 2(-1) − (1)(3) = -2 - 3 = -5 - dh − eg = 2(-5) − (-3)(3) = -10 + 9 = -1 det(A) = 3*8 − (-4)*(-5) + 5*(-1) = 24 − 20 − 5 = -1 det(A) = -1, значит обратная матрица существует и будет рассчитана через адъюнгат. 2) Найдем матрицу алгебраических дополнений (кофакторов) Маленькие миноры и кофакторы C_ij = (-1)^(i+j) M_ij. M_11 = det([[-3,1],[-5,-1]]) = (-3)(-1) - (1)(-5) = 3 + 5 = 8 C_11 = (+)·8 = 8 M_12 = det([[2,1],[3,-1]]) = 2(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5 C_12 = (-)·(-5) = 5 M_13 = det([[2,-3],[3,-5]]) = 2(-5) - (-3)(3) = -10 + 9 = -1 C_13 = (+)·(-1) = -1 M_21 = det([[-4,5],[-5,-1]]) = (-4)(-1) - (5)(-5) = 4 + 25 = 29 C_21 = (-)·29 = -29 M_22 = det([[3,5],[3,-1]]) = 3(-1) - (5)(3) = -3 - 15 = -18 C_22 = (+)·(-18) = -18 M_23 = det([[3,-4],[3,-5]]) = 3(-5) - (-4)(3) = -15 + 12 = -3 C_23 = (-)·(-3) = 3 M_31 = det([[-4,5],[-3,1]]) = (-4)(1) - (5)(-3) = -4 + 15 = 11 C_31 = (+)·11 = 11 M_32 = det([[3,5],[2,1]]) = 3(1) - (5)(2) = 3 - 10 = -7 C_32 = (-)·(-7) = 7 M_33 = det([[3,-4],[2,-3]]) = 3(-3) - (-4)(2) = -9 + 8 = -1 C_33 = (+)·(-1) = -1 Кофакторная матрица C = | 8 5 -1 | | -29 -18 3 | | 11 7 -1 | 3) Адъюгат adj(A) — транспонирование кофакторной матрицы adj(A) = | 8 -29 11 | | 5 -18 7 | | -1 3 -1 | 4) Найдем обратную матрицу A^-1 = (1/det(A)) · adj(A) = (1/(-1)) · adj(A) = - adj(A) Итак, A^-1 = | -8 29 -11 | | -5 18 -7 | | 1 -3 1 | 5) Быстрая проверка (проверим, что A · A^-1 = I) Из предыдущих вычислений видно, что A · adj(A) = det(A) · I = -I, значит A · (-adj(A)) = I, то есть A^-1 корректна. Ответ: Обратная матрица A^-1 равна [[-8, 29, -11], [-5, 18, -7], [ 1, -3, 1]]