Что такое линейное уравнение

Кратко: линейное уравнение — это уравнение степенью 1 по всем переменным (в нулях — степень 0, в остальных — не выше 1). То есть без квадратов, кубов, корней, произведений переменных и т. п. График линейного уравнения в двумерном пространстве — прямая. Разбор по ситуациям 1) Линейное уравнение в одной переменной - Общий вид: a·x + b = 0, где a ≠ 0. - Решение: x = −b/a. - Примеры: - 4x − 7 = 1 → 4x = 8 → x = 2. - 5x + 3 = 0 → x = −3/5. - 2x + 5 = 2x + 7. Здесь 2x cancelsся, остаётся 5 = 7 → решений нет (противоречие). - 7x − 3 = 7x + 1. Здесь тоже противоречие: −3 = 1 → решений нет. - x/3 − 5 = 7 → x/3 = 12 → x = 36. 2) Линейное уравнение в двух переменных - Общий вид: a·x + b·y + c = 0, где хотя бы одна из коэффициентов не ноль. - График: прямая на плоскости. - Приведение к видy: y = −(a/b)·x − c/b, если b ≠ 0. Или x = −(b/a)·y − c/a, если a ≠ 0. - Примеры: - 2x + 3y = 12. Решить относительно y: 3y = 12 − 2x → y = (12 − 2x)/3 = 4 − (2/3)x. - Интерцепты: при x = 0, y = 4; при y = 0, x = 6. - x − y = 4. Тогда y = x − 4. График — прямая с углом наклона 1. 3) Важные понятия и различия - Линейное уравнение и линейная функция: - Линейная функция в двух переменных часто записывается как y = m·x + b (прямой график). Это понятие функции, а не уравнения, но форму линейности используют и там, и там. - Что делает уравнение линейным: - переменные встречаются только в первой степени; - нет произведений переменных между собой и нет степеней переменных выше 1; - без корней, квадратных корней, степеней и прочего над переменными. - Решаемость: - В одной переменной обычно одно решение x = …; - В двух переменных уравнение задаёт линию на плоскости (бесконечное множество пар (x, y)). 4) Как решать быстро и как проверить - В одной переменной: изолировать переменную: a·x = −b → x = −b/a. - В двух переменных: можно решать по разным способом (перебросить одно переменное, получить зависимость y от x; найти intercepts; или решить систему, если есть две линейные уравнения). - Проверка: подставьте найденное значение в исходное уравнение и убедитесь, что равенство выполняется. Практика (несколько небольших задач) - Найдите x: 3x + 9 = 0 → x = −3. - Найдите x: 2x + 5 = 3x − 1 → 5 + 1 = 3x − 2x → 6 = x → x = 6. - Найдите y из уравнения 4x − 2y = 8: −2y = 8 − 4x → y = 2x − 4. - Найдите точку пересечения прямых 2x + y = 6 и x − y = 1 (решение системы): - from second: y = x − 1. Подставим в первое: 2x + (x − 1) = 6 → 3x = 7 → x = 7/3, y = 7/3 − 1 = 4/3. - Такова точка пересечения: (7/3, 4/3). Если хочешь, могу привести дополнительные примеры по конкретному классу или подготовить короткий тест на понятие линейности.