икс в квадрате -2 икс -8дробная черта икс в квадрате - 2 икс -3 >0

Задача: решить неравенство (x^2 - 2x - 8) / (x^2 - 2x - 3) > 0.

Пошаговое решение с объяснениями.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

• x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)
• x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Итак, неравенство становится: [(x - 4)(x + 2)] / [(x - 3)(x + 1)] > 0

2. Учтем область определения (denominator ≠ 0). x ≠ -1, 3.

3. Найдем нули числителя и точки разрыва знака.

• Нули числителя: x = 4 и x = -2 (при этих значениях числитель = 0, поэтому дробь равна 0, не удовлетворяет > 0).
• Точки разрыва знака из знаменателя: x = -1 и x = 3 (знаменатель = 0, значение не определено).

Обобщим все критические точки: -∞, -2, -1, 3, 4, ∞. Разобьем вещественную ось на интервалы: (-∞, -2), (-2, -1), (-1, 3), (3, 4), (4, ∞).

4. Анализ знака на каждом интервале. Выберем удобные тестовые точки и определим знак дроби.

• Интервал (-∞, -2): возьмём x = -3 x-4 < 0, x+2 < 0 → числитель положителен x-3 < 0, x+1 < 0 → знаменатель положителен Дробь положительна. Значит, > 0 выполняется здесь.

• Интервал (-2, -1): x = -1.5 x-4 < 0, x+2 > 0 → числитель отрицателен x-3 < 0, x+1 < 0 → знаменатель положителен Дробь отрицательна. Не подходит.

• Интервал (-1, 3): x = 0 x-4 < 0, x+2 > 0 → числитель отрицателен x-3 < 0, x+1 > 0 → знаменатель отрицателен Дробь положительна. Подходит.

• Интервал (3, 4): x = 3.5 x-4 < 0, x+2 > 0 → числитель отрицателен x-3 > 0, x+1 > 0 → знаменатель положителен Дробь отрицательна. Не подходит.

• Интервал (4, ∞): x = 5 x-4 > 0, x+2 > 0 → числитель положителен x-3 > 0, x+1 > 0 → знаменатель положителен Дробь положительна. Подходит.

5. Запишем решение. Дробь положительна на интервалах: (-∞, -2) ∪ (-1, 3) ∪ (4, ∞)

Замечания:

• Значения x = -2 и x = 4 дают числитель 0, поэтому дробь равна нулю; условие > 0 не выполняется, эти точки не включаем.
• Значения x = -1 и x = 3 недопустимы, потому что знаменатель равен нулю.

Ответ: (-∞, -2) ∪ (-1, 3) ∪ (4, ∞).