Найдите четырёхзначное число, кратное 85, произведение цифр которого равно 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение (пошагово):

1. Так как число должно быть кратно 85, оно должно быть кратно 5 и кратно 17. Значит последняя цифра должна быть 0 или 5. Поскольку произведение цифр равно 120 (не может быть нуля), последняя цифра не может быть 0. Значит d = 5.

2. Пусть число имеет вид abcd, где d = 5. Тогда произведение цифр: a · b · c · 5 = 120, значит a · b · c = 24.

3. Найдем наборы цифр (от 1 до 9) с произведением 24:

• 1 · 3 · 8
• 1 · 4 · 6
• 2 · 3 · 4
• 2 · 2 · 6

То есть a, b, c должны быть перестановками одного из троек: {1,3,8}, {1,4,6}, {2,3,4}, {2,2,6}.

4. Число abcd должно быть кратно 17 (так как уже кратно 5). Проверим каждую тройку на кратность 17. Для удобства используем вычисление по модулю: n = 1000a + 100b + 10c + 5. Модули: 1000 ≡ 14 (мод 17), 100 ≡ 15, 10 ≡ 10. Тогда n ≡ 14a + 15b + 10c + 5 (mod 17).

• Для тройки {1,3,8} проверка по всем перестановкам не дала нуля по модулю 17.
• Для тройки {1,4,6} нашёлся подходящий вариант: a = 4, b = 1, c = 6. Подстановка: n ≡ 14·4 + 15·1 + 10·6 + 5 = 56 + 15 + 60 + 5 = 136 ≡ 0 (mod 17). Значит число 4165 кратно 17 и, следовательно, кратно 85 (оно заканчивается на 5 и делится на 17).

5. Проверка: 4165 ÷ 85 = 49, произведение цифр 4 · 1 · 6 · 5 = 120. Всё выполняется.

Ответ: одно из чисел — 4165.