точки М и N-середины сторон АB и AC треугольника АВС. выразите векторы BM NC MN BN через векторы а=АМ и b=AN

Решение

Дано: M — середина AB, N — середина AC. Обозначим векторы a = AM и b = AN.

1. Выразим положение точек через векторы A, B, C:

• M = (A + B)/2, N = (A + C)/2.
• AM = a = M − A = (B − A)/2, следовательно AB = 2a.
• AN = b = N − A = (C − A)/2, следовательно AC = 2b.

2. Вычислим требуемые векторы:

• BM = M − B BM = (A + B)/2 − B = (A − B)/2 = −(B − A)/2 = −a.

• NC = C − N NC = C − (A + C)/2 = (C − A)/2 = b.

• MN = N − M MN = (A + C)/2 − (A + B)/2 = (C − B)/2. Но C − B = (C − A) − (B − A) = 2b − 2a, значит MN = (C − B)/2 = b − a.

• BN = N − B BN = (N − A) + (A − B) = AN + (A − B) = b − 2a.

Ответ:

• BM = −a
• NC = b
• MN = b − a
• BN = b − 2a

Короткое замечание: AB = 2a, AC = 2b, BC = 2(b − a), что согласуется с полученными выражениями.