Периметр ромба равен 200, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Детальное решение задачи по геометрии (класс 9, цель — понять):

Дано: периметр ромба P = 200. Один угол ромба равен 30°.

1. Найдём сторону ромба.

• В ромбе все стороны равны. Пусть сторона ромба равна a.
• Периметр: P = 4a = 200 → a = 200 / 4 = 50. Значит, сторона ромба равна 50.

2. Используем угол между сторонами.

• В ромбе соседние углы являются двумя облегающими: если один угол равен α = 30°, противоположный угол тоже 30°, а соседний угол — 180° − 30° = 150°.
• Для площади ромба можно использовать формулу: S = a · h, где h — высота, проведённая к стороне a.
• Высота относительно основания a равна h = a · sin(α) = 50 · sin(30°) = 50 · 1/2 = 25.

3. Найдём площадь.

• S = a · h = 50 · 25 = 1250.

Ответ: площадь ромба равна 1250 квадратных единиц.

Дополнительная проверка (через диагонали):

• Площадь ромба можно также записать как S = (d1 · d2) / 2, где диагонали зависят от a и α. При α = 30°: d1 = a · sqrt(2 + 2 cos α), d2 = a · sqrt(2 − 2 cos α). Подставляя cos 30° = √3/2 даёт S = 1250, что согласуется с полученным результатом.