Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Решение с подробным объяснением

Уголовное требование задачи: внутри параллелограмма ABCD выбрать произвольную точку E. Нужно доказать, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD.

Шаг 1. Выразим площади треугольников через основание и высоты

• Треугольник BEC можно взять за основание BC. Тогда его площадь: S(BEC) = 1/2 · BC · d(E, BC), где d(E, BC) — перпендикулярное расстояние от точки E до прямой BC.
• Треугольник AED можно взять за основание AD. Тогда его площадь: S(AED) = 1/2 · AD · d(E, AD), где d(E, AD) — перпендикулярное расстояние от точки E до прямой AD.

Шаг 2. Свойства параллелограмма

• Прямые BC и AD параллельны, и стороны BC и AD равны по длине в параллелограмме: BC = AD.
• Прямая, через E, перпендикулярная к BC (и к AD) образует расстояния d(E, BC) и d(E, AD) до соответствующих параллельных прямых.
• Так как E лежит внутри параллелограмма, она находится между двумя параллельными прямыми BC и AD. Следовательно, d(E, BC) + d(E, AD) = h, где h — расстояние между параллельными прямыми BC и AD (то есть высота параллелограмма, соответствующая основанию BC или AD).

Шаг 3. Сложим площади S(BEC) + S(AED) = 1/2 · BC · d(E, BC) + 1/2 · AD · d(E, AD) = 1/2 · BC · d(E, BC) + 1/2 · BC · d(E, AD) (так как AD = BC) = 1/2 · BC · [d(E, BC) + d(E, AD)] = 1/2 · BC · h.

Шаг 4. Соотнесём с площадью параллелограмма Площадь параллелограмма ABCD равна произведению основания на высоту: S(ABCD) = BC · h. Следовательно, S(BEC) + S(AED) = 1/2 · BC · h = 1/2 · S(ABCD).

Вывод: сумма площадей треугольников BEC и AED действительно равна половине площади параллелограмма ABCD.