ABCD- паралеллограмм AN- бессектриса угла BAD BM- биссектриса угла ABC Доказать: ABNM- паралеллограмм

Задача: В параллелограмме ABCD проведены AN и BM как биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Пусть N лежит на BC (AN ∩ BC) и M лежит на AD (BM ∩ AD). Нужно доказать, что ABNM — параллелограмм. Я покажу решение в координатах и получу прямой вывод о параллельности сторон. Предложение координат - Пусть A = (0, 0), B = (1, 0). Пусть вектор AD равен (p, q) с q ≠ 0 (чтобы параллелограмм не вырождался). Тогда D = (p, q), C = B + AD = (1 + p, q). - Тогда AB параллельно оси x, а BC и AD параллельны друг другу (BC ∥ AD). 1) Координаты N, точки пересечения AN с BC - Вектор AB имеет направление (1, 0) и длину 1, поэтому единичный вектор вдоль AB — (1, 0). - Вектор AD имеет направление (p, q), его длина L = √(p^2 + q^2). Единичный вектор вдоль AD — (p/L, q/L). - Бисектриса угла BAD в направлении дает вектор d = (1, 0) + (p/L, q/L) = (1 + p/L, q/L). Следовательно, прямая AN: A + s·d = (s(1 + p/L), s(q/L)). - Прямая BC задаётся как B + t·(C − B) = (1, 0) + t(p, q) = (1 + p t, q t). - Найдём пересечение AN и BC: решаем 1) 1 + p t = s(1 + p/L), 2) q t = s(q/L). Если q ≠ 0, из (2) получаем t = s/L. Подставляя в (1): 1 + p(s/L) = s(1 + p/L) → 1 = s. Значит s = 1, t = 1/L. - Следовательно, N = B + (1/L)(p, q) = (1 + p/L, q/L). 2) Координаты M, точки пересечения BM с AD - Вектор BA вдоль стороны BA имеет направление (-1, 0), единичный вектор вдоль BA — (-1, 0). - Вектор BC имеет направление (p, q), единичный — (p/L, q/L). - Бисектриса угла ABC в направлении даёт вектор d' = (-1, 0) + (p/L, q/L) = (p/L − 1, q/L). - Прямая BM: B + s·d' = (1 + s(p/L − 1), s(q/L)). - Прямая AD задаётся как A + u·(AD) = (u p, u q). - Найдём пересечение: решаем 1) 1 + s(p/L − 1) = u p, 2) s(q/L) = u q. Из (2) при q ≠ 0 имеем u = s/L. Подставляя в (1): 1 + s(p/L − 1) = (s/L) p → 1 − s + (s p)/L = (s p)/L → 1 − s = 0 → s = 1. Значит u = 1/L. - Следовательно, M = A + u(AD) = (p/L, q/L) (или через BM: B + d' со стороны s = 1 даёт тот же пункт). 3) Геометрическое следствие - Найдены координаты: N = (1 + p/L, q/L), M = (p/L, q/L). - Вектор NM = M − N = (p/L − (1 + p/L), q/L − q/L) = (−1, 0). Значит NM параллельно AB (направление вдоль оси x). - Также BN и AM параллельны AD и BC соответственно: BN = N − B = (p/L, q/L), AM = M − A = (p/L, q/L). Так как BC ∥ AD, BN ∥ AM. Вывод - AB ∥ NM и BN ∥ AM, значит стороны противоположны параллельны соответственно, следовательно ABNM — параллелограмм. - Дополнительно длина NM равна длине AB (NM = AB по модулю, просто противоположно направлена). Заключение В параллелограмме ABCD, если AN — биссектор угла BAD пересекает BC в N, а BM — биссектор угла ABC пересекает AD в M, то ABNM образует параллелограмм (AB ∥ NM и BN ∥ AM). Если хочешь, могу привести более «почему так» сSynthetic подход без координат, но с тем же выводом.