точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите…

Ответ: CC1 = 12 cm

Пошаговое решение (для понятия):

1. Зададим простой каркас координат.

• Пусть A = (0, 0, 0).
• Так как AC:CB = 3:2, можно положить A — на начале координат, C на оси x на расстоянии 3, а B на расстоянии 5 от A. Тогда A = (0, 0, 0), C = (3, 0, 0), B = (5, 0, 0).
• Плоскость через A имеет уравнение a x + b y + c z = 0 (не все a, b, c нули, чтобы плоскость не проходила через B и C).
• Через B и C проведены параллельные прямые с направлением d = (dx, dy, dz), и они пересекают эту плоскость в точках B1 и C1 соответственно.

2. Найдем параметры пересечения этих прямых с плоскостью. Пусть для прямой через B параметр t_B так, что B1 = B + t_B d. Подставим в уравнение плоскости: a(5 + t_B dx) + b(0 + t_B dy) + c(0 + t_B dz) = 0. Это равно 5a + t_B (a dx + b dy + c dz) = 0, поэтому t_B = -5a / D, где D = a dx + b dy + c dz.

А для прямой через C получаем аналогично: C1 = C + t_C d, и a(3 + t_C dx) + b(0 + t_C dy) + c(0 + t_C dz) = 0, то есть 3a + t_C D = 0, отсюда t_C = -3a / D.

3. Связь длин BB1 и CC1 с параметрами t_B и t_C. Длина BB1 = |t_B| · |d|, а длина CC1 = |t_C| · |d|. Из полученных выражений видно, что |t_C| / |t_B| = (3a/|D|) / (5a/|D|) = 3/5.

Значит CC1 = (|t_C|/|t_B|) · BB1 = (3/5) · BB1.

4. Подстановка чисел. Дано BB1 = 20 см, значит CC1 = (3/5) · 20 см = 12 см.

Итого, длинна отрезка CC1 равна 12 см. Это не зависит от ориентации плоскости и от направления параллельных прямых.