Параллелограмм. Свойства параллелограмма. AC = 12, BD = 20, AB = 7 B C N 10 см 60° 25 2 см 40° M P A Рис. 114 Рис. 115 Рис. 116 B 5 D2 Рис. 117 3 Рис. 118 Рис. 119 Домашнее…
Параллелограмм. Свойства параллелограмма. AC = 12, BD = 20, AB = 7 B C N 10 см 60° 25 2 см 40° M P A Рис. 114 Рис. 115 Рис. 116 B 5 D2 Рис. 117 3 Рис. 118 Рис. 119 Домашнее задание: 3 B 320 2
Задача: параллелограмм ABCD. Заданы AB = 7, AC = 12, BD = 20. Найдём BC и площадь параллелограмма (а также заметим другие свойства).
- Обозначим стороны параллелограмма как векторы a = AB и b = BC. Тогда диагонали:
- AC = a + b, длина |a + b| = 12
- BD = a − b, длина |a − b| = 20
- Используем формулы для квадратов длин сумм и разностей вектора:
- |a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 a·b
- |a − b|^2 = |a|^2 + |b|^2 − 2 a·b
Поскольку |a| = AB = 7, обозначим |b| = BC = x и a·b = |a||b| cos φ = 7x cos φ, где φ — угол между сторонами AB и BC.
- Сложим и вычтем данные:
|a + b|^2 + |a − b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2) 12^2 + 20^2 = 2(7^2 + x^2) 144 + 400 = 2(49 + x^2) 544 = 98 + 2x^2 2x^2 = 446 x^2 = 223 BC = x = sqrt(223) ≈ 14.93
Разность длин диагоналей даёт: |a + b|^2 − |a − b|^2 = 4 a·b 12^2 − 20^2 = 4 a·b 144 − 400 = 4 a·b −256 = 4 a·b a·b = −64
Тогда cos φ = (a·b)/(|a||b|) = −64 / (7 · sqrt(223)) ≈ −0.612 Угол φ между AB и BC ≈ arccos(−0.612) ≈ 128° (острый угол отсутствует, угол между сторонами острый не бывает; здесь получился тупой угол ≈ 128°).
- Площадь S параллелограмма:
- S = |a × b| = |a| |b| sin φ
- sin φ = sqrt(1 − cos^2 φ) ≈ sqrt(1 − (0.612)^2) ≈ 0.790
- S ≈ 7 · sqrt(223) · 0.790 ≈ 82.7
Альтернативно по формуле через скалярное произведение:
- S^2 = |a|^2 |b|^2 − (a·b)^2 = 49 · 223 − (−64)^2 = 10927 − 4096 = 6831
- S = sqrt(6831) ≈ 82.7
- Итоги:
- BC = sqrt(223) ≈ 14.93
- AD = BC = sqrt(223) ≈ 14.93
- CD = AB = 7
- Угол между AB и BC ≈ 128°
- Площадь параллелограмма S ≈ 82.7 квадратных единиц
Свойства параллелограмма, которые здесь применялись:
- Противоположные стороны равны: AB = CD = 7, BC = AD = sqrt(223).
- Диагонали пересекаются в серединах и делят друг друга пополам: AC и BD пересекаются в их серединах.
- Площадь параллелограмма равна произведению длин соседних сторон на синус угла между ними: S = AB · BC · sin φ.
Если нужно, могу привести ответ в более компактной форме или проверить другой способ вычисления (например, через угол между диагоналями). Также скажите, хотите ли вы, чтобы я нашёл именно углы при других вершинах или дал графическое решение.
