сложение и умножение числовых неравенств

Отлично. Разберёмся подробно, как работают операции сложения и умножения над числовыми неравенствами. Так как предмет и класс не указаны, возьмём общую схему, понятную для средней школы.

1. Основные правила

• Сложение неравенств

  • Если a ≤ b и c ≤ d, то a + c ≤ b + d. Идея: к левой и правой частям добавляем одни и те же значения и сохраняем порядок.
  • Также: если a ≤ b, то для любого числа t выполняется a + t ≤ b + t.
  • Следствие: если a ≤ b, то a − t ≤ b − t (вычитание эквивалентно добавлению −t).

• Умножение неравенств

  • Если a ≤ b и t > 0, то t·a ≤ t·b (умножение на положительное число сохраняет направление).
  • Если a ≤ b и t < 0, то t·a ≥ t·b (умножение на отрицательное число разворачивает знак).
  • Если a ≥ b и t > 0, то t·a ≥ t·b.
  • Важное исключение: умножение двух неравенств на отрицательные числа или смешанные знаки требует внимательности и отдельно рассматривается.

• Умножение двух неравенств (при возможности выводить заключение)

  • Если 0 ≤ a ≤ b и 0 ≤ c ≤ d, тогда ac ≤ bd. Доказательство: ac ≤ ad (так как c ≤ d и a ≥ 0) и ad ≤ bd (так как a ≤ b и d ≥ 0). Значит ac ≤ bd.
  • Общий вывод: без дополнительно заданных условий про знаки переменных делать выводы о сравнении произведений ac и bd надёжно нельзя.

2. Примеры с пояснениями

Пример A (сложение неравенств)

• Пусть -7 ≤ 2 и 3 ≤ 9. Применяем правило сложения: (-7) + 3 ≤ 2 + 9, то есть -4 ≤ 11.
• Объяснение: сложили левую часть неравенств и правую часть неравенств — направление не изменилось.

Пример B (сложение на произвольное число)

• Пусть 1 ≤ 4. Добавим t = -3: 1 + (-3) ≤ 4 + (-3) ⇒ -2 ≤ 1.
• Объяснение: добавляя одно и то же число к обеим частям, неравенство сохраняет направление.

Пример C (умножение на положительное число)

• Пусть 2 ≤ 5. Умножим обе стороны на t = 3: 2·3 ≤ 5·3 ⇒ 6 ≤ 15.
• Объяснение: умножение на положительное число сохраняет направление.

Пример D (умножение на отрицательное число)

• Пусть -3 ≤ 1. Умножим обе стороны на t = -2: (-3)·(-2) ≥ 1·(-2) ⇒ 6 ≥ -2.
• Объяснение: умножение на отрицательное число разворачивает знак неравенства.

Пример E (умножение двух неравенств при условии неотрицательности)

• Пусть 0 ≤ a ≤ b и 0 ≤ c ≤ d. Тогда ac ≤ bd.
• Пример: 1 ≤ 3 и 2 ≤ 4 → 1·2 ≤ 3·4 → 2 ≤ 12.
• Объяснение: сначала ac ≤ ad (поскольку c ≤ d и a ≥ 0), затем ad ≤ bd (потому что a ≤ b и d ≥ 0). Следовательно, ac ≤ bd.

3. Практика: задачи для закрепления

Задача 1

• Пусть x ≤ y и p ≤ q. По правилу сложения неравенств: x + p ≤ y + q. Пример: x = -4, y = 1, p = 3, q = 7 дают -1 ≤ 8.

Задача 2

• Пусть a ≤ b и t > 0. Применяем умножение на положительное число: t·a ≤ t·b. Пример: a = -2, b = 4, t = 2 → -4 ≤ 8.

Задача 3

• Пусть a ≤ b и t < 0. Применяем умножение на отрицательное число: t·a ≥ t·b. Пример: a = -3, b = 2, t = -3 → 9 ≥ -6.

Задача 4

• Пусть 0 ≤ a ≤ b и 0 ≤ c ≤ d. Тогда ac ≤ bd. Пример: a=1, b=3, c=2, d=5 → 1·2 ≤ 3·5 → 2 ≤ 15.

Задача 5 (предупреждение)

• Без условия знаков нельзя надёжно сравнить произведения разных пар чисел. Пример: возьмём a = -3, b = 2, c = -1, d = 4. Тогда ac = 3, bd = -8, и 3 ≤ -8 неверно. Значит нужны дополнительные условия о знаках.

4. Что делать дальше

• Если у тебя есть конкретная задача или изображение неравенств, присылай — разберём пошагово, укажем, какие правила применяем, и покажем все промежуточные выводы.
• Если хочешь, могу подобрать задачи уровня твоего класса и решить их по шагам.

Кратко подытожим:

• Добавление неравенств: сохраняет направление.
• Добавление константы к обеим частям: сохраняет направление.
• Умножение на положительное число: сохраняет направление; на отрицательное число: разворачивает направление.
• Произведения неравенств требуют дополнительных условий о знаках; при 0 ≤ a ≤ b и 0 ≤ c ≤ d можно сделать вывод ac ≤ bd.

Если хочешь, могу привести решение конкретной задачи из твоего конспекта или из изображения — просто пришли текст задачи.