Cos x =3/2

Задача: cos x = 3/2

1. Реальные решения отсутствуют

• Для любого вещественного x косинус satisfies -1 ≤ cos x ≤ 1.
• 3/2 = 1.5 > 1, значит в области вещественных чисел решений нет.

2. Решения в комплексной области Чтобы найти и комплексные решения, удобно записать x как x = u + i v, где u и v — вещественные.

• Используем формулу для комплексного аргумента: cos(u + i v) = cos u · cosh v − i · sin u · sinh v.

• Приравниваем к 3/2 (реальная часть) и к 0 мнимой части: Мнимая часть: sin u · sinh v = 0. Реальная часть: cos u · cosh v = 3/2.

• Рассмотрим мнимая часть:

  • Если sinh v = 0, то v = 0. Тогда cos u = 3/2, что невозможно (косинус не превосходит 1 по модулю).
  • Значит должно выполняться sin u = 0, то есть u = nπ, где n ∈ Z.

• Подстановка в вещественную часть: cos u = cos(nπ) = (−1)^n. Тогда (−1)^n · cosh v = 3/2.

• Поскольку cosh v ≥ 1 и 3/2 > 0, нужен случай, когда (−1)^n = 1, то есть n чётное: n = 2k, k ∈ Z. Тогда cosh v = 3/2 и v = ± arcosh(3/2).

• arcosh (обозначение): arcosh(3/2) = ln( (3/2) + sqrt((3/2)^2 − 1) ) = ln( (3 + √5) / 2 ) ≈ 0.96242365.

• Следовательно, все комплексные решения: x = 2πk ± i · arcosh(3/2), где k ∈ Z. Можно записать эквивалентно как x = 2πk ± i ln((3 + √5)/2).

3. Примеры и проверка

• Для k = 0: x = ± i · 0.96242365. cos(x) = cos(± i a) = cosh(a) = 3/2, что подтверждает решение.
• Для любого k: cos(2πk ± i a) = cos(2πk) cosh(a) − i sin(2πk) sinh(a) = 1 · cosh(a) = 3/2.

Итого:

• В вещественных числах решений нет.
• В комплексной области все решения: x = 2πk ± i arcosh(3/2) (k ∈ Z), что эквивалентно x = 2πk ± i ln((3 + √5)/2). Numerically arcosh(3/2) ≈ 0.96242365.