Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник.

Пусть ABCD — параллелограмм. Обозначим биссектрисы внутренних углов как l_A (при A), l_B (при B), l_C (при C), l_D (при D).

1. Противолежащие бисектрисы параллельны.

• Угол при A равен ∠A, при C равен ∠C. В параллелограмме ∠A = ∠C.
• Линии AB ∥ CD и AD ∥ BC. Следовательно бисектор при A и бисектор при C проходят параллельно: l_A ∥ l_C.
• Аналогично l_B ∥ l_D.

2. Биссектрисы соседних углов перпендикулярны.

• Угол между AC и AB равен ∠A, а угол между AB и BC равен ∠B, где ∠A + ∠B = 180° (сумма соседних углов параллелограмма).
• Биссектор при A образует с AB угол ∠A/2, биссектор при B — угол ∠B/2, и они лежат по разные стороны AB. Поэтому угол между l_A и l_B равен ∠A/2 + ∠B/2 = (∠A + ∠B)/2 = 90°.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что четыре биссектрисы образуют прямоугольник.

• Притом что l_A ∥ l_C и l_B ∥ l_D, горизонтальные стороны параллелограмма и вертикальные стороны перпендикулярны между собой, значит квадрат, образованный их пересечениями, имеет все углы 90°, то есть является прямоугольником.

Дополнение: обозначив точки пересечения P = l_A ∩ l_B, Q = l_B ∩ l_C, R = l_C ∩ l_D, S = l_D ∩ l_A, получаем прямоугольник PQRS, т.к. PQ ∥ RS (лежит на l_B и l_D, которые параллельны) и QR ∥ SP (лежащие на l_C и l_A). А углы P, Q, R, S равны 90°.