|x-1|+|x-2|+|x-3|=2

Задача: |x-1| + |x-2| + |x-3| = 2 Цель: понять решение подробно. 1) Разделим числовую ось по точкам 1, 2, 3 и выпишем выражение без модуля на каждом интервале. - Для x ≤ 1: |x-1| = 1 - x, |x-2| = 2 - x, |x-3| = 3 - x f(x) = (1 - x) + (2 - x) + (3 - x) = 6 - 3x - Для 1 ≤ x ≤ 2: |x-1| = x - 1, |x-2| = 2 - x, |x-3| = 3 - x f(x) = (x - 1) + (2 - x) + (3 - x) = 4 - x - Для 2 ≤ x ≤ 3: |x-1| = x - 1, |x-2| = x - 2, |x-3| = 3 - x f(x) = (x - 1) + (x - 2) + (3 - x) = x - Для x ≥ 3: |x-1| = x - 1, |x-2| = x - 2, |x-3| = x - 3 f(x) = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) = 3x - 6 2) Решим уравнение f(x) = 2 в каждом интервале. - При x ≤ 1: 6 - 3x = 2 → -3x = -4 → x = 4/3. Но 4/3 не входит в x ≤ 1, значит здесь решений нет. - При 1 ≤ x ≤ 2: 4 - x = 2 → x = 2. Это решение подходит. - При 2 ≤ x ≤ 3: x = 2. Это решение подходит. - При x ≥ 3: 3x - 6 = 2 → 3x = 8 → x = 8/3, но 8/3 ≈ 2.67 не удовлетворяет x ≥ 3, значит здесь решений нет. Вывод: единственное решение — x = 2. 3) Дополнительная интуиция (по желанию) f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-3| является суммой расстояний до точек 1, 2 и 3 на числовой оси. Эта сумма достигает минимума в точке x = 2 и минимальное значение равно 2 (проверяем: |2-1| + |2-2| + |2-3| = 1 + 0 + 1 = 2). Поскольку правая часть равна этому минимальному значению, единственное решение — x = 2. Ответ: x = 2.