№ 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 48 и 45; б) 30 и 40; в) 20, 70 и 15. г) 504 и 540

Вот подробное решение по задачам на наименьшее общее кратное (НОК). Для каждой пары/трёх чисел приведу разложение на простые и итоговую НОК. (Использую метод разложения на простые и проверку.)

1. а) НОК(48, 45)

• Разложим на простые:
  • 48 = 2^4 · 3
  • 45 = 3^2 · 5
• НОК выбирает для каждого простого максимальную степень, встречающуюся где-либо:
  • 2: максимальная степень 4
  • 3: максимальная степень 2
  • 5: максимальная степень 1
• НОК = 2^4 · 3^2 · 5 = 16 · 9 · 5 = 720
• Проверка: 720 ÷ 48 = 15, 720 ÷ 45 = 16. Оба делятся без остатка.
• Ответ: 720

2. б) НОК(30, 40)

• Разложим на простые:
  • 30 = 2 · 3 · 5
  • 40 = 2^3 · 5
• Максимальные степени:
  • 2: 2^3
  • 3: 3^1
  • 5: 5^1
• НОК = 2^3 · 3 · 5 = 8 · 3 · 5 = 120
• Проверка: 120 ÷ 30 = 4, 120 ÷ 40 = 3.
• Ответ: 120
• Промежуточная заметка: можно also посчитать через НОД: НОК(a,b) = a·b / НОД(a,b). НОД(30,40) = 10, значит НОК = 30·40 / 10 = 120.

3. в) НОК(20, 70, 15)

• Разложим на простые:
  • 20 = 2^2 · 5
  • 70 = 2 · 5 · 7
  • 15 = 3 · 5
• Максимальные степени:
  • 2: 2^2
  • 3: 3^1
  • 5: 5^1
  • 7: 7^1
• НОК = 2^2 · 3 · 5 · 7 = 4 · 3 · 5 · 7 = 420
• Проверка: 420 ÷ 20 = 21, 420 ÷ 70 = 6, 420 ÷ 15 = 28.
• Ответ: 420

4. г) НОК(504, 540)

• Разложим на простые:
  • 504 = 2^3 · 3^2 · 7
  • 540 = 2^2 · 3^3 · 5
• Максимальные степени:
  • 2: 2^3
  • 3: 3^3
  • 5: 5^1
  • 7: 7^1
• НОК = 2^3 · 3^3 · 5 · 7 = 8 · 27 · 5 · 7
  • 8 · 27 = 216
  • 216 · 5 = 1080
  • 1080 · 7 = 7560
• Проверка: 7560 ÷ 504 = 15, 7560 ÷ 540 = 14.
• Ответ: 7560

Итоговые ответы:

• a) 720
• b) 120
• c) 420
• d) 7560

Если хочешь, могу показать тот же результат через формулу НОК через НОД (для каждого случая) или привести ещё краткую памятку, как быстро находить НОК в голове.