[23.09, 14:50] 💗💗Уля💗💗: Конспект урока по математике для 6 класса Дата: 22.09.2025 Тема: Натуральные числа: Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее…

Ниже — подробные конспекты двух уроков для 6 класса, ориентированные на понимание материала и практическое применение. Здесь есть объяснения по теме делителей и кратных, НОД и НОК, а также по теме делимости суммы и произведения. В конце — примеры заданий и тест на 12 вопросов.

1. Конспект урока 1. Натуральные числа: делители и кратные; наибольший общий делитель и наимольшшее общее кратное (НОД и НОК)

Цели урока

• Ознакомить с понятиями делителей и кратных.
• Научить вычислять НОД и НОК двух натуральных чисел.
• Развивать умение аргументировать решения и применять знания на практике.
• Развить навыки работы с натуральными числами и их разложением на простые множители.

Оборудование и организация

• Доска, мел, карточки с числами, учебник/раздаточные материалы.
• Разделение на 2–3 группы для практической части.

Краткие понятия

• Делитель: число, на которое другое число делится без остатка.
• Кратное: число, которое является произведением данного числа на целое.
• НОД(a, b): наибольший общий делитель двух чисел a и b.
• НОК(a, b): наименьшее общее кратное двух чисел a и b.
• Важная связь: a · b = НОД(a, b) · НОК(a, b).

План урока (примерное распределение 45–50 мин)

1. Организационный момент и мотивация (2–3 мин)
2. Повтор основных понятий: делитель, кратное (5 мин)
3. Ввод НОД и НОК, примеры вычисления (10 мин)
   • Метод 1: простой разбор через кратчайший алгоритм Евклида (для НОД) Пример: найти НОД(18, 24) 24 = 18·1 + 6 18 = 6·3 + 0 Следовательно, НОД(18, 24) = 6
   • Вычисление НОК через формулу: НОК = (a · b) / НОД(a, b) Пример: НОК(18, 24) = (18 · 24) / 6 = 72
4. Альтернатива: разложение на простые множители (практика) (8–10 мин)
   • 18 = 2 · 3^2
   • 24 = 2^3 · 3
   • НОД = произведение общих минимальных степеней: 2^1 · 3^1 = 6
   • НОК = произведение максимумов степеней: 2^3 · 3^2 = 72
5. Практическая часть. Выполнить 5 заданий на НОД и НОК (10–12 мин) Примеры заданий:
   • a) НОД(12, 18) и НОК(12, 18) Решение: НОД = 6; НОК = (12·18)/6 = 36
   • b) НОД(21, 28) и НОК(21, 28) Решение: НОД = 7; НОК = (21·28)/7 = 84
   • c) НОД(45, 60) и НОК(45, 60) Решение: НОД = 15; НОК = (45·60)/15 = 180
   • d) НОД(8, 12) и НОК(8, 12) Решение: НОД = 4; НОК = (8·12)/4 = 24
   • e) НОД(128, 72) и НОК(128, 72) Решение: НОД = 8; НОК = (128·72)/8 = 1152
6. Дифференциация и самостоятельная работа (5–7 мин)
   • Для слабых: использовать разложение на простые множители и таблицу минимальных степеней.
   • Для сильных: решать задачи с большими числами и применять Евклидовый алгоритм на практике.
7. Итог и домашнее задание (2–3 мин) Домашнее: подобрать пары чисел и для каждой пары найти НОД и НОК, оформить кратко на листке. Примеры: (14, 35), (27, 81), (40, 120).

Примеры домашних задач (решения сразу после заметки)

• НОД(14, 35) = 7; НОК(14, 35) = (14·35)/7 = 70
• НОД(27, 81) = 27; НОК(27, 81) = (27·81)/27 = 81
• НОД(40, 120) = 40; НОК(40, 120) = (40·120)/40 = 120

Выводы урока

• Делители и кратные — базовые понятия натуральных чисел.
• НОД и НОК позволяют компактно описывать общие свойства двух чисел.
• Связь a·b = НОД(a, b)·НОК(a, b) помогает быстро находить НОК.

2. Конспект урока 2. Натуральные числа: делимость суммы и произведения

Цели урока

• Ознакомить с правилами делимости суммы и произведения натуральных чисел.
• Научить применять правила на практике.
• Развивать логическое мышление и обоснование решений.

Краткие правила (что важно усвоить)

• Делимость суммы: если A делится на C и B делится на C, то A + B делится на C. Пример: 6 и 9 делятся на 3, значит 6 + 9 = 15 делится на 3.
• Делимость произведения: если A делится на C или B делится на C, то A · B делится на C. Пример: 81 делится на 9, значит 81 · 95 делится на 9; и 95 делится на 5, значит 81 · 95 делится на 5.

План урока (примерно 45–50 мин)

1. Ввод и актуализация знаний (5 мин)
   • Что такое делимость? Что такое сумма и произведение?
2. Формулировка правил делимости суммы и произведения (10 мин)
   • Доказательство на простых примерах без формальных выкладок.
   • Примеры: сумма двух чисел, делящихся на 3; произведение чисел, один из которых делится на 9; произведение чисел на 5, если одно число делится на 5.
3. Примеры разборов (15 мин)
   • Примеры из конспекта учителя:
     • 6 и 9 делятся на 3 → 6 + 9 = 15 делится на 3.
     • 21 и 49 делятся на 7 → 70 делится на 7.
     • 981 и 1134 делятся на 9 → 2115 делится на 9.
     • 1232 и 5731 делятся на 11 → 6963 делится на 11.
     • 81 · 95 делится на 9 (потому что 81 делится на 9) и на 5 (потому что 95 делится на 5).
4. Практическая часть (10–12 мин)
   • Задания на применение правила делимости суммы:
     • Пример: 14 и 28 делятся на 7; найдите делимость суммы: 14 + 28 = 42, делится на 7.
     • Пример: 10 и 21 делятся на 3? Нет. Но 10 делится на 5, 21 делится на 3; сумма и т. п. — обсудить корректность применения правил.
   • Задания на произведение:
     • Пример: 14 · 5 делится на 7? Да, потому что 14 делится на 7.
     • Пример: 18 · 25 делится на 5? Да, потому что 25 делится на 5.
5. Итог урока и домашнее задание (3–5 мин)
   • Кратко повторить правила.
   • Домашнее: выполнить задания 182–184 (как в оригинальном конспекте учителя) и придумать 3 своих примеров на делимость суммы и произведения.
   • Подсказка: доказать в устной форме без простых вычислений (как в исходной задаче).

Практические задачи для закрепления (примерный набор)

• Задача 1: Две цифры: 12 и 18 делятся на 6; сумма 30 делится на 6. Верно ли утверждение? Ответ: да (потому что обе исходные числа делятся на 6).
• Задача 2: 15 и 21 делятся на 3; найдите, делится ли их сумма на 3. Да, 15 + 21 = 36.
• Задача 3: Проверить делимость произведения 14 · 9 на 7. Да, потому что 14 делится на 7.
• Задача 4: 81 и 95 делятся на 9 и 5 соответственно; найдите, делится ли их произведение на 9 и на 5. Да и да.
• Задача 5: Даны числа 6 и 25; делятся ли их сумма и произведение на 3 и на 5 соответственно? Сумма: 6+25=31 — не делится на 3; на 5 — 31 не делится на 5. Произведение: 6·25 = 150 — делится на 3? Нет; на 5? Да.

Итоги и выводы по двум урокам

• На занятиях изучаются базовые свойства делимости, арифметические операции над делителями и кратными, а также практическое применение правил для сумм и произведений.
• Важно практиковаться на примерах разной сложности и формулировать обоснование выводов, чтобы развивать логическое мышление.

3. Пример теста на закрепление (12 вопросов) по теме «Делимость суммы и произведения» и ответы

4. Если оба числа делятся на 4, то их сумма делится на 4. Правильно или нет?

• Правильно.

2. Число 21 делится на 7. Если к нему прибавить 7, получим число, делится ли оно на 7?

• 21 делится на 7; 7 делится на 7; следовательно, 21 + 7 = 28 делится на 7. Ответ: да.

3. Число 12 делится на 3 и на 4. Чему делится сумма 12 + 20 = 32? Делится ли на 3?

• Пояснение: 12 делится на 3, 20 не делится на 3. Сумма 32 делится на 3? Нет. Правило для суммы требует обе части делились бы на 3, чтобы гарантировать делимость, поэтому ответ: нет.

4. Число 18 делится на 3. Чему делится произведение 18 · 25? Делится ли на 3 и на 9?

• На 3: да (потому что 18 делится на 3).
• На 9: 18 делится на 9? Нет. 18 · 25 не обязательно делится на 9.

5. 6 и 9 делятся на 3. Делится ли их сумма на 3?

• Да, 6 + 9 = 15, 15 делится на 3.

6. 15 делится на 5. Делится ли произведение 15 · 7 на 5?

• Да, потому что 15 делится на 5.

7. 121 делится на 11. Делится ли 121 + 11 на 11?

• 121 делится на 11; 11 делится на 11; сумма 132 делится на 11. Ответ: да.

8. Число A делится на 7, число B делится на 7. Делится ли сумма A + B на 7?

• Да.

9. Число A делится на 8. Число B делится на 5. Делится ли A · B на 8?

• Да, потому что одно из множителей (A) делится на 8.

10. Приведите пример, когда произведение делится на 6, но ни один из множителей не делится на 6.

• Пример: 3 делится на 3, 2 делится на 2, но ни один из множителей не делится на 6. Однако их произведение 3 · 2 = 6 делится на 6. Этот пример иллюстрирует, что для делимости на 6 достаточно, чтобы множители покрывали разные простые множители (2 и 3). Правильная формулировка вопроса была бы: «Делится ли произведение, если один из множителей делится на 2, другой на 3?» Ответ: да для 6.

11. Число 45 делится на 9. Чему делится 45 · 2?

• Делится на 9 (поскольку 45 делится на 9).

12. Подсчёт: 8 и 12 делятся на 4. Их сумма делится на 4?

• Да, 8 + 12 = 20; 20 делится на 4. Ответ: да.

Ответы к тесту:

1. Да
2. Да
3. Нет
4. На 3 да, на 9 — нет
5. Да
6. Да
7. Да
8. Да
9. Да
10. Пример даёт идею, но формулировка требует точности; общий ответ: да, если один множитель обеспечивает делимость на один простой множитель, другой — на другой.
11. Да
12. Да

Примечания для учителя и дифференциация

• Для учеников, которым сложно, используйте наглядные примеры и разбор по шагам (показывайте деление на табличке, разбор остатков).
• Для сильных учеников предлагайте дополнительные задания: доказательства для случаев «сумма» и «произведение» для произвольных модулей, работа в модульной арифметике (остатки). Можно использовать примеры с большими числами и проверить понимание алгоритмов НОД и НОК.

Если нужно, могу адаптировать эти конспекты под конкретный учебник или срок, добавить дополнительные примеры для домашнего задания, либо сформировать готовые листы с заданиями ровно под ваш формат контроля знаний.