Задача Задача №3426335
А
А
y=x²+2x⁴+4 (0;1]
Задача: рассмотреть функцию y = x^2 + 2x^4 + 4 на промежутке (0; 1].
Пояснение и решение
- Производная и поведение
- f(x) = x^2 + 2x^4 + 4
- f'(x) = 2x + 8x^3 = 2x(1 + 4x^2)
На промежутке (0, 1] имеем x > 0 и 1 + 4x^2 > 0, значит f'(x) > 0. Следовательно, функция возрастает на этом интервале.
- Значения на границах интервала
- При x = 1: f(1) = 1^2 + 2·1^4 + 4 = 1 + 2 + 4 = 7.
- При x → 0+: f(x) → 0^2 + 2·0^4 + 4 = 4. Но x = 0 не принадлежит промежутку, поэтому значение 4 не достигается.
- Экстремумы и диапазон значений
- Максимум на (0, 1] достигается в правой границе x = 1: значение 7.
- Так как левая граница не включена, минимум не достигается; инфимум равен 4 (поскольку при x → 0+ значение стремится к 4).
- Ответы
- Диапазон значений (множество y): (4, 7].
- Максимум: y = 7 при x = 1.
- Минимум: не достигается на (0, 1]; инфимум = 4.
- Примечание: если бы промежуток был [0, 1], минимальное значение было бы 4 (при x = 0), и диапазон стал бы [4, 7].
Если нужно, могу дополнительно построить график или рассмотреть другую задачу (например, найти производную второго порядка, проверить выпуклость).
