Найдите площадь прямоугольника , диагональ которого равна 10 см , а угол между диагоналями равен 30°

Задача: найти площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b, диагональ d = 10.

1. Связи между сторонами и диагональю:

• Диагональ прямоугольника: a^2 + b^2 = d^2 = 100.

2. Угол между диагоналями:

• Векторная экспликация диагоналей: диагонали можно представить как векторы (a, b) и (a, −b). Их скалярное произведение равно a^2 − b^2.
• Норма каждого диагонального вектора равна sqrt(a^2 + b^2) = d = 10.
• cos(угол) между диагоналями = (a^2 − b^2) / (a^2 + b^2) = (a^2 − b^2) / 100.
• Пусть угол между диагоналями θ = 30°. Тогда cos θ = √3/2, значит: (a^2 − b^2) / 100 = √3/2 ⇒ a^2 − b^2 = 50√3.

3. Решение для a^2 и b^2:

• Имеем систему: a^2 + b^2 = 100 a^2 − b^2 = 50√3
• Откуда: a^2 = (100 + 50√3)/2 = 50 + 25√3 b^2 = (100 − 50√3)/2 = 50 − 25√3

4. Площадь:

• Площадь S прямоугольника равна ab, а ab = sqrt(a^2 · b^2).
• a^2 · b^2 = (50 + 25√3)(50 − 25√3) = 50^2 − (25√3)^2 = 2500 − 1875 = 625.
• Следовательно, S = sqrt(625) = 25.

Итого, площадь прямоугольника равна 25 квадратных сантиметров.

Дополнительная проверка (быстрый способ):

• Обратим внимание, что sin θ = 2ab / (a^2 + b^2) = 2S / d^2.
• Отсюда S = (d^2 / 2) sin θ = (100 / 2) · sin 30° = 50 · 0.5 = 25.
• Оба подхода дают тот же результат.