на сторонах mn и pk параллелограмма KMNP отложены равные отрезки MA и PB. докажите что четырёхугольник AMBP параллелограмма

Задача: Пусть KMNP — параллелограмм. На сторонах MN и PK отложены равные отрезки MA и PB. Доказать, что четвероугольник AMBP является параллелограммом.

Решение (пошагово, с пояснениями)

1. Ввод удобной системы координат

• Пусть KMNP — параллелограмм с такими векторами сторон: KM = a и MN = b.
• Тогда можно выбрать координаты так: K = 0, M = a, N = a + b, P = b.
• Следовательно MN параллельно PK (обе стороны направлены вдоль вектора b), а KM параллельно NP (обе вдоль вектора a).

2. Пусть A лежит на MN и B лежит на PK

• Так как A lies на MN, можно записать A = M + t b = a + t b, где t ∈ [0, 1].
• Так как B лежит на PK, можно записать B = μ b, где μ ∈ [0, 1].

3. Задаём условие MA = PB и находим связь между t и μ

• Вектор MA = A − M = t b, значит длина MA равна t|b|.
• Вектор PB = B − P или P − B зависит от направления; однако длина отрезка PB равна |P − B| = |b − μ b| = (1 − μ)|b|.
• Условие MA = PB даёт: t|b| = (1 − μ)|b|, откуда t = 1 − μ, то есть μ = 1 − t.

4. Вычислим необходимые стороны AM, BP, MB, AP

• AM: вектор от A к M равен M − A = a − (a + t b) = −t b, значит AM параллелен b.
• BP: вектор от B к P равен P − B = b − μ b = (1 − μ) b = t b, значит BP параллелен AM и имеет ту же величину: |BP| = t|b| = |MA|.
• MB: вектор MB = B − M = μ b − a.
• AP: вектор AP = P − A = b − (a + t b) = −a + (1 − t) b = −a + μ b.

По найденным соотношениям μ = 1 − t имеем MB = AP: MB = μ b − a = −a + μ b = AP. То есть векторы MB и AP совпадают.

5. Вывод

• Из пункта 3 мы знаем, что MA ∥ BP (и равны по длине).
• Из пункта 4 мы видим, что MB ∥ AP (и равны по длине).
• Значит в четвертоугольнике AMBP противоположные стороны AM и BP параллельны, а MB и AP параллельны и равны.
• Следовательно AMBP — параллелограмм.

Дополнительный компактный синтетический конспект:

• Так как MN ∥ PK, отрезки MA и PB лежат на параллельных прямых и равны по длине, значит вектор MA равен вектору BP.
• Следовательно Translacja по вектору MA переводит M в A и B в P; тогда MB переходит в AP, то есть MB ∥ AP и MB = AP.
• Кроме того AM ∥ BP (как MA ∥ BP). Две пары противоположных сторон параллельны и равны — AMBP является параллелограммом.