найти обратную матрицу А = (3 -4 5) (2 -3 1) ( 3 -5 1)

Задача: найти обратную матрицу A для A = [ [3, -4, 5], [2, -3, 1], [3, -5, 1] ]

1. Вычислим определитель det(A) используя формулу det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)

Подставим значения: a11=3, a12=-4, a13=5 a21=2, a22=-3, a23=1 a31=3, a32=-5, a33=1

det(A) = 3((-3)1 - 1(-5)) - (-4)(21 - 13) + 5(2*(-5) - (-3)*3) = 3( -3 + 5 ) - (-4)(2 - 3) + 5( -10 + 9 ) = 3(2) - (-4)(-1) + 5(-1) = 6 - 4 - 5 = -3

det(A) = -3 ≠ 0, обратная матрица существует.

2. Найдём матрицу алгебраических дополнений ( cofactors ) C и затем транспонируем её (adjugate) Для каждой позиции Cij = (-1)^(i+j) * det(Mij), где Mij — минор, получаем:

C11 = 2, C12 = 1, C13 = -1 C21 = -21, C22 = -12, C23 = 3 C31 = 11, C32 = 7, C33 = -1

Тогда adj(A) = transpose(C) = [[ 2, -21, 11], [ 1, -12, 7], [ -1, 3, -1]]

3. Обратная матрица A^{-1} = (1 / det(A)) * adj(A) = (-1/3) * adj(A)

Следовательно, A^{-1} = [ [-2/3, 7, -11/3], [-1/3, 4, -7/3], [ 1/3, -1, 1/3] ]

4. Проверка (кратко) Умножим A на найденную A^{-1} — должно получиться единичная матрица. Например, первая строка A на первый столбец A^{-1} даёт 1, а на вторую и третью — 0; аналогично для остальных строк. Все вычисления сходятся, как проверено отдельно.

Итого: обратная матрица существует и равна
A^{-1} = [ [-2/3, 7, -11/3], [-1/3, 4, -7/3], [ 1/3, -1, 1/3] ]