2) Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью ACC1 Докажите, что построенное сечение является параллелограммом.
Вот подробное решение задачи для среднего школьного уровня.
Задача: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью ACC1. Докажите, что полученное сечение является параллелограммом.
Пояснение и решение
- Что именно у нас есть
- ABCD — основание параллелепипеда.
- A1B1C1D1 — верхняя грань, параллельная основанию.
- AA1, BB1, CC1, DD1 — боковые вертикальные ребра (соответствуют точкам A, B, C, D).
- Точка C1 – вершина над C; точка A над A.
- Плоскость ACC1 задаётся тремя точками: A, C и C1.
- Где лежит секущая плоскость ACC1
- Плоскость ACC1 явно содержит точку A и точку C (она же проходит через линию AC на основании) и точку C1.
- Плоскость ACC1 также содержит точку A1. Это следует из того, что параллелепипед имеет связь между нижними и верхними вершинами: C1 = C + AA1, и A1 = A + AA1, поэтому A1 − A = C1 − C. Это значит, что A1 можно записать как A + α(C − A) + β(C1 − A) для α = −1, β = 1. Поэтому A1 принадлежит плоскости ACC1.
- Следовательно, плоскость ACC1 пересекает параллелепипед по фигуре, ограниченной следующими участками:
- на нижней грани (плоскости ABCD) – по линии AC;
- на верхней грани (плоскости A1B1C1D1) – по линии A1C1;
- вдоль боковых граней по ребрам AA1 и CC1.
- Таким образом секция образует четырехугольник с вершинами A, C, C1 и A1, то есть ACC1A1 (порядок обхода можно взять как A → C → C1 → A1 → назад к A).
- Доказательство, что ACC1A1 — параллелограмм Нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны.
AA1 ∥ CC1 и равны по длине. В параллелепипеде боковые ребра AA1 и CC1 параллельны между собой и одинаковы по длине, поэтому они образуют одну пару параллельных противоположных сторон четырехугольника ACC1A1.
AC ∥ A1C1. Нижняя диагональ AC лежит на нижней грани ABCD, верхняя диагональ A1C1 лежит на верхней грани A1B1C1D1. Эти две грани параллельны друг другу, и диагонали, соединяющие соответствующие пары вершин (A с C и A1 с C1), параллельны друг другу. Точнее, переход по вектору AA1 переводит нижнюю грань в верхнюю; поэтому вектор AC переводится в вектор A1C1. Следовательно, AC ∥ A1C1.
Получается, ACC1A1 имеет две пары противоположных параллельных сторон: AA1 ∥ CC1 и AC ∥ A1C1. Значит, ACC1A1 — параллелограмм.
- Как это отразить на рисунке (практические указания)
- Нарисуйте основание ABCD (параллелограмм).
- Поднимите вершины A и C вверх до A1 и C1 вдоль параллельных ребер AA1 и CC1.
- Соедините A с C на нижней грани (получится AC).
- Соедините A1 с C1 на верхней грани (получится A1C1).
- Соедините AA1 и CC1 (это уже боковые ребра, параллельные друг другу).
- В результате вы получите четырехугольник ACC1A1 внутри параллелепипеда; по доказанному выше он является параллелограммом.
Итого
- Сечение плоскостью ACC1 параллелепипеда равно четырехугольнику ACC1A1.
- Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку противоположные стороны AA1 и CC1 параллельны, а AC и A1C1 параллельны друг другу.
