2) Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью ACC1 Докажите, что построенное сечение является параллелограммом.

Вот подробное решение задачи для среднего школьного уровня. Задача: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью ACC1. Докажите, что полученное сечение является параллелограммом. Пояснение и решение 1) Что именно у нас есть - ABCD — основание параллелепипеда. - A1B1C1D1 — верхняя грань, параллельная основанию. - AA1, BB1, CC1, DD1 — боковые вертикальные ребра (соответствуют точкам A, B, C, D). - Точка C1 – вершина над C; точка A над A. - Плоскость ACC1 задаётся тремя точками: A, C и C1. 2) Где лежит секущая плоскость ACC1 - Плоскость ACC1 явно содержит точку A и точку C (она же проходит через линию AC на основании) и точку C1. - Плоскость ACC1 также содержит точку A1. Это следует из того, что параллелепипед имеет связь между нижними и верхними вершинами: C1 = C + AA1, и A1 = A + AA1, поэтому A1 − A = C1 − C. Это значит, что A1 можно записать как A + α(C − A) + β(C1 − A) для α = −1, β = 1. Поэтому A1 принадлежит плоскости ACC1. - Следовательно, плоскость ACC1 пересекает параллелепипед по фигуре, ограниченной следующими участками: - на нижней грани (плоскости ABCD) – по линии AC; - на верхней грани (плоскости A1B1C1D1) – по линии A1C1; - вдоль боковых граней по ребрам AA1 и CC1. - Таким образом секция образует четырехугольник с вершинами A, C, C1 и A1, то есть ACC1A1 (порядок обхода можно взять как A → C → C1 → A1 → назад к A). 3) Доказательство, что ACC1A1 — параллелограмм Нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны. - AA1 ∥ CC1 и равны по длине. В параллелепипеде боковые ребра AA1 и CC1 параллельны между собой и одинаковы по длине, поэтому они образуют одну пару параллельных противоположных сторон четырехугольника ACC1A1. - AC ∥ A1C1. Нижняя диагональ AC лежит на нижней грани ABCD, верхняя диагональ A1C1 лежит на верхней грани A1B1C1D1. Эти две грани параллельны друг другу, и диагонали, соединяющие соответствующие пары вершин (A с C и A1 с C1), параллельны друг другу. Точнее, переход по вектору AA1 переводит нижнюю грань в верхнюю; поэтому вектор AC переводится в вектор A1C1. Следовательно, AC ∥ A1C1. - Получается, ACC1A1 имеет две пары противоположных параллельных сторон: AA1 ∥ CC1 и AC ∥ A1C1. Значит, ACC1A1 — параллелограмм. 4) Как это отразить на рисунке (практические указания) - Нарисуйте основание ABCD (параллелограмм). - Поднимите вершины A и C вверх до A1 и C1 вдоль параллельных ребер AA1 и CC1. - Соедините A с C на нижней грани (получится AC). - Соедините A1 с C1 на верхней грани (получится A1C1). - Соедините AA1 и CC1 (это уже боковые ребра, параллельные друг другу). - В результате вы получите четырехугольник ACC1A1 внутри параллелепипеда; по доказанному выше он является параллелограммом. Итого - Сечение плоскостью ACC1 параллелепипеда равно четырехугольнику ACC1A1. - Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку противоположные стороны AA1 и CC1 параллельны, а AC и A1C1 параллельны друг другу.