точки a и b лежат в плоскости альфа а. C не лежит в этой плоскости Докажите что Прямая проходящая через середины отрезков AC и BC параллельны плоскости альфа

Даны: A и B лежат в плоскости α, точка C не лежит в α. Пусть M — середина AC, N — середина BC. Нужно доказать, что прямая MN параллельна плоскости α.

Способ 1. Геометрический (по теореме о середину отрезков)

• В треугольнике ABC точка M — середина AC, точка N — середина BC.
• По теореме о середине отрезков MN в треугольнике ABC MN ∥ AB.
• Линия AB лежит в плоскости α, так как A и B принадлежат α.
• Следовательно MN ⟂ направление AB и параллельна AB. Поскольку AB лежит в α, направление MN лежит в направлении плоскости α, то MN параллельна плоскости α.

Итого: прямая through M и N параллельна плоскости α.

Способ 2. Координатный (для ясности)

• Пусть плоскость α задана как z = 0. Тогда A = (x_A, y_A, 0), B = (x_B, y_B, 0). Пусть C = (x_C, y_C, z_C) с z_C ≠ 0.
• M — середина AC: M = ((x_A+x_C)/2, (y_A+y_C)/2, z_C/2).
• N — середина BC: N = ((x_B+x_C)/2, (y_B+y_C)/2, z_C/2).
• Вектор MN = N − M = ((x_B − x_A)/2, (y_B − y_A)/2, 0).
• Компонента вдоль z равна 0, значит вектор MN параллелен плоскости z = 0, т.е. MN параллельна α.

Замечание Условие C ∉ α гарантирует, что треугольник ABC не лежит в одной плоскости α; однако для доказательства достаточно того факта, что M и N — середины AC и BC, а MN по теореме о середине отрезков параллелен AB, а AB лежит в α.