В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба

Задача: в ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.

Обозначения:

• AB = BC = CD = DA = a (сторона ромба),
• угол A = α, противолежащий угол B = 180° − α, углы C и D тоже равны α и 180° − α соответственно.

Диагонали ромба AC и BD можно выразить через сторону a и углы следующим образом:

• AC = 2a cos(α/2) Обоснование: в треугольнике BAD стороны AB = AD = a и угол BAD = α. По закону cosines диагональ BD: BD^2 = 2a^2 − 2a^2 cos α. Но нас интересует AC, что равно длине векторному сумме AB + AD, что даёт AC^2 = 2a^2(1 + cos α) = 4a^2 cos^2(α/2). Значит AC = 2a cos(α/2).
• BD = 2a sin(α/2) Обоснование: в треугольнике BAD диагональ BD лежит напротив угла α, поэтому BD^2 = 2a^2 − 2a^2 cos α = 4a^2 sin^2(α/2). Значит BD = 2a sin(α/2).

Условие задачи: одна диагональ равна стороне, т.е. либо AC = a, либо BD = a.

1. Пусть AC = a: 2a cos(α/2) = a → cos(α/2) = 1/2 → α/2 = 60° → α = 120°. Тогда углы ромба: A = C = 120°, B = D = 60°.

2. Пусть BD = a: 2a sin(α/2) = a → sin(α/2) = 1/2 → α/2 = 30° → α = 60°. Тогда углы ромба: A = C = 60°, B = D = 120°.

Вывод: В любом случае углы ромба будут 60° и 120°. То есть ромб либо с двумя острыми углами по 60° и двумя тупыми по 120°, либо наоборот (зависит от того, какая диагональ равна стороне).