№1) Найдите сторону BC треугольника ABC, если: а) AB=4, AC=3–√, ∠A=30∘; б) AB=5, AC=3, sinA=45 и угол A тупой. №2) найдите косинус наименьшего угла треугольника ABC, если AB=3,…

Ниже даю подробные решения по каждой задаче. Везде считаем, что сторона BC противоположна углу A, а стороны AB и AC образуют угол A (то есть AB и AC — соседние стороны при A). Это стандартная нотация.

Заметка по задаче №1b: в условии указано sinA=45. Вероятно опечатка: чаще встречается sinA = 4/5 и A — тупой (cosA<0). Я решаю для sinA = 4/5 и A obtuse. Если у вас другое значение sinA, дайте знать — пересчитаю.

Задача №1 а) AB = 4, AC = √3, ∠A = 30°

• По закону косинусов для стороны BC (обозначим a = BC, b = AC, c = AB): a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A Подставляем: b = √3, c = 4, cos 30° = √3/2 a^2 = (√3)^2 + 4^2 − 2·(√3)·4·(√3/2) = 3 + 16 − 8√3·(√3/2) = 19 − 12 = 7
• BC = a = √7.

Ответ: √7.

б) AB = 5, AC = 3, sinA = 4/5, ∠A тупой

• Так как A тупой и sinA = 4/5, то cosA = −√(1 − sin^2A) = −√(1 − 16/25) = −√(9/25) = −3/5.
• По закону косинусов: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A, где a = BC, b = AC = 3, c = AB = 5 a^2 = 3^2 + 5^2 − 2·3·5·(−3/5) = 9 + 25 + 2·3·5·(3/5) = 34 + 18 = 52
• BC = a = √52 = 2√13.

Ответ: 2√13.

Задача №2 Найдите косинус наименьшего угла, если AB = 3, AC = 4, BC = 6.

• Наименьший угол соответствует наименьшей стороне. Наименьшая сторона — AB = 3, значит угол при C самый маленький (C против стороны AB).
• Косинус угла C по закону косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C, где: a = BC = 6, b = CA = 4, c = AB = 3 cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab) = (36 + 16 − 9) / (2·6·4) = 43 / 48.

Ответ: 43/48.

Задача №3 Найдите косинус наибольшего угла, если AB = 4, AC = 5, BC = 6.

• Наибольший угол находится напротив наибольшей стороны. Наибольшая сторона — BC = 6, значит угол A — наибольший.
• Косинус угла A по закону косинусов: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A, где a = BC = 6, b = AC = 5, c = AB = 4 36 = 25 + 16 − 2·5·4·cos A 36 = 41 − 40 cos A 40 cos A = 41 − 36 = 5 cos A = 5/40 = 1/8.

Ответ: 1/8.