№1) Найдите сторону BC
треугольника ABC, если:
а) AB=4, AC=3–√, ∠A=30∘;
б) AB=5, AC=3, sinA=45 и угол A
тупой.
№2) найдите косинус наименьшего угла треугольника ABC, если AB=3, AC=4, BC=6.
№3) найдите косинус наибольшего угла треугольника ABC, если AB=4, AC=5, BC=6
Ниже даю подробные решения по каждой задаче. Везде считаем, что сторона BC противоположна углу A, а стороны AB и AC образуют угол A (то есть AB и AC — соседние стороны при A). Это стандартная нотация.
Заметка по задаче №1b: в условии указано sinA=45. Вероятно опечатка: чаще встречается sinA = 4/5 и A — тупой (cosA<0). Я решаю для sinA = 4/5 и A obtuse. Если у вас другое значение sinA, дайте знать — пересчитаю.
Задача №1
а) AB = 4, AC = √3, ∠A = 30°
- По закону косинусов для стороны BC (обозначим a = BC, b = AC, c = AB):
a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A
Подставляем: b = √3, c = 4, cos 30° = √3/2
a^2 = (√3)^2 + 4^2 − 2·(√3)·4·(√3/2)
= 3 + 16 − 8√3·(√3/2)
= 19 − 12
= 7
- BC = a = √7.
Ответ: √7.
б) AB = 5, AC = 3, sinA = 4/5, ∠A тупой
- Так как A тупой и sinA = 4/5, то cosA = −√(1 − sin^2A) = −√(1 − 16/25) = −√(9/25) = −3/5.
- По закону косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A, где a = BC, b = AC = 3, c = AB = 5
a^2 = 3^2 + 5^2 − 2·3·5·(−3/5)
= 9 + 25 + 2·3·5·(3/5)
= 34 + 18
= 52
- BC = a = √52 = 2√13.
Ответ: 2√13.
Задача №2
Найдите косинус наименьшего угла, если AB = 3, AC = 4, BC = 6.
- Наименьший угол соответствует наименьшей стороне. Наименьшая сторона — AB = 3, значит угол при C самый маленький (C против стороны AB).
- Косинус угла C по закону косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C, где:
a = BC = 6, b = CA = 4, c = AB = 3
cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab) = (36 + 16 − 9) / (2·6·4) = 43 / 48.
Ответ: 43/48.
Задача №3
Найдите косинус наибольшего угла, если AB = 4, AC = 5, BC = 6.
- Наибольший угол находится напротив наибольшей стороны. Наибольшая сторона — BC = 6, значит угол A — наибольший.
- Косинус угла A по закону косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A, где a = BC = 6, b = AC = 5, c = AB = 4
36 = 25 + 16 − 2·5·4·cos A
36 = 41 − 40 cos A
40 cos A = 41 − 36 = 5
cos A = 5/40 = 1/8.
Ответ: 1/8.
