Дан угол АВС , образованный секущей АВ и касательной АС ( А касательная) к окружности с центром О . Найдите m(<ВАС) если m(<АОВ)=80°

Дано: окружность с центром O. AB — секущая, проходящая через A и B (A и B лежат на окружности), AC — касательная в точке A. Известно, что m(<AOB) = 80°.

Найти m(<BAC).

Решение:

• Шаг 1. Так как A и B лежат на окружности, треугольник AOB является равнобедренным (OA = OB). Центральный угол AOB равен 80°, значит углы при A и при B равны: ∠OAB = ∠OBA = (180° − 80°)/2 = 50°.
• Шаг 2. Радиус OA перпендикулярен касательной в точке A, поэтому ∠OAC = 90°.
• Шаг 3. Угол BAC состоит из угла между AB и касательной AC. Он равен разности между углом между AB и OA (то есть ∠OAB) и 90°, но правильнее рассмотреть: угол между AB и касательной AC равен 90° − ∠OAB. Следовательно, ∠BAC = 90° − 50° = 40°.

Альтернативно можно применить теорему о касательной и секущей: угол между касательной в A и хордой AB равен полугодному углу, который опирается на дугу AB, то есть углу, который подписывается дугой AB. Дугa AB имеет меру 80°, следовательно угол BAC = 1/2 · 80° = 40°.

Ответ: m(<BAC) = 40°.