Найти НОД(8; 9) и НОК(8; 9)

Задача: найти НОД(8, 9) и НОК(8, 9).

Что означают термины:

• НОД (наибольший общий делитель) — наибольшие число, на которое делятся оба числа.
• НОК (наименьшее общее кратное) — наименьшее число, делимое на оба числа.

Способ 1: через Евклидов алгоритм (для НОД)

• Применяем деление с остатком: 9 = 8·1 + 1.
• Затем берём остаток: 8 = 1·8 + 0.
• Когда остаток стал 0, предыдущий остаток и есть НОД: НОД(8,9) = 1.

Способ 2: через разложение на простые множители (для НОД и НОК)

• 8 = 2^3
• 9 = 3^2
• НОД берём общие простые множители с минимальными степенями: здесь общих факторов нет, значит НОД = 1.
• НОК берём все простые знаменатели с максимальными степенями: 2^3 и 3^2 → НОК = 2^3 · 3^2 = 8 · 9 = 72.

Проверка (полезная связь):

• для положительных чисел выполняется НОД(а, b) · НОК(а, b) = |a · b|.
• Здесь: 1 · 72 = 72, а произведение 8 · 9 = 72. Так что проверка проходит.

Ответ:

• НОД(8, 9) = 1
• НОК(8, 9) = 72

Дополнительно заметим: числа 8 и 9 взаимно простые (совместно делятся только на 1).