Найти НОД (18; 54) и НОК (18; 54)

Задача: Найти НОД(18, 54) и НОК(18, 54).

Ответ:

• НОД(18, 54) = 18
• НОК(18, 54) = 54

Пояснение пошагово (почему так):

1. Разложим числа на простые множители

   • 18 = 2 × 3^2
   • 54 = 2 × 3^3

2. НОД (наименьшее общее кратное по степеням простых)

   • Берём каждый простый фактор в минимальной степени, который встречается в обоих разложениях: 2^1 и 3^2.
   • НОД = 2 × 3^2 = 2 × 9 = 18.

3. НОК (наибольшее общее кратное по степеням простых)

   • Берём каждый простой фактор в максимальной степени, которая встречается в разложениях: 2^1 и 3^3.
   • НОК = 2 × 3^3 = 2 × 27 = 54.

Дополнительная проверка:

• Евклидова алгоритм: gcd(54, 18) = 54 mod 18 = 0 → gcd = 18.
• Связь gcd и lcm: lcm(a,b) = (a×b) / gcd(a,b) = (18×54)/18 = 54.

Замечание: если одно число кратно другому, то НОД — это меньшее число, а НОК — большее число. Здесь 54 = 3 × 18, поэтому НОД = 18 и НОК = 54.