На уроке алгебры Вася и Петя записали в своих тетрадях многочлен х2 + 5х + 7. Затем Вася заменил в своём многочлене какой-то коэффициент на не равное ему целое число а , а Петя в своём многочлене заменил какой-то коэффициент на не равное ему целое число b. При этом а было не равно b. После этого на доске они построили графики двух полученных многочленов. Оказалось, что эти графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами х = 0 и х = 1. Найдите модуль разности между числами а и b.
Решение:
1) Пусть исходный многочлен Вася и Петя одинаковы: f(x) = x^2 + 5x + 7.
2) Вася заменил одну из коэффициентов на a, Петя — на b (a и b целые, a ≠ заменённый коэффициент, b ≠ заменённый коэффициент, и a ≠ b).
Обозначим после изменений g(x) — многочлен Вася, h(x) — многочлен Петя. Тогда D(x) = g(x) − h(x) — разность двух графиков. Поскольку графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами 0 и 1, то D(0) = 0 и D(1) = 0, причём D не тождественно равен нулю (a ≠ b). Следовательно, D(x) имеет корни 0 и 1, и потому D(x) пропорционален x(x−1): D(x) = k x(x−1) где k ≠ 0.
3) Разобьём по коэффициентам. Пусть Вася поменял коэффициент с индексом i_V ∈ {2,1,0} (2 — коэффициент при x^2, 1 — при x, 0 — константа) на a, Петя — с индексом i_P ∈ {2,1,0} на b. По условию a, b — целые, и a ≠ заменяемый коэффициент, b ≠ заменяемый коэффициент, а также a ≠ b.
Из условия D(0) = 0 следует c0' = d0, где c0' — константа после изменений у Вася, d0 — константа после изменений у Петя. Рассмотрим варианты:
- Если i_V ≠ 0 и i_P ≠ 0, то conстанты остаются 7 у обоих, и c0' = d0 = 7 — это допускает D(0) = 0.
- Если хотя бы один из них изменит константу, то получаются противоречия с a ≠ b (см. подробности в рассуждении ниже). Поэтому единственно возможная и совместимая с условиями конфигурация — ни Вася, ни Петя не трогают константу. То есть i_V ∈ {2,1} и i_P ∈ {2,1}.
Далее D(1) = 0 даёт условие на различия коэффициентов:
D(1) = (c2' + c1' + c0') − (d2 + d1 + d0) = 0
поскольку c0' = d0 = 7, остаётся
(c2' − d2) + (c1' − d1) = 0.
Рассмотрим два допустимых случая, когда i_V и i_P различны (иначе получим a = b, противоречие):
- Случай A: i_V = 2 (Вася поменял x^2 на a), i_P = 1 (Петя поменял x на b).
Тогда
c2' = a, c1' = 5; d2 = 1, d1 = b.
Условие: (a − 1) + (5 − b) = 0 ⇒ a − b + 4 = 0 ⇒ b = a + 4.
- Случай B: i_V = 1 (Вася поменял x на a), i_P = 2 (Петя поменял x^2 на b).
Тогда
c2' = 1, c1' = a; d2 = b, d1 = 5.
Условие: (1 − b) + (a − 5) = 0 ⇒ a − b − 4 = 0 ⇒ b = a − 4.
В обоих допустимых случаях выполняется, что D(x) имеет корни 0 и 1, поэтому графики действительно пересекаются ровно в этих двух точках.
4) Найдём требуемую величину |a − b|. Из двух допустимых случаев имеем:
- в случае A: b = a + 4, значит |a − b| = 4;
- в случае B: b = a − 4, значит |a − b| = 4.
Следовательно, regardless от конкретных значений a и b, выполняются условия задачи и модуль разности равен 4.
Ответ: 4
Пример наглядной пары значений: возьмём a = 0, тогда в случае A получаем b = 4. Тогда Вася: g(x) = 0·x^2 + 5x + 7 = 5x + 7; Петя: h(x) = x^2 + 4x + 7. Их графики пересекаются в x = 0 и x = 1, как и нужно. |a − b| = 4.
