На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и K, AB = BM = KD, LAMB = 30°. Найдите углы параллелограм-ма и сравните отрезки АМ и СК.

Задача: В параллелограмме ABCD точки M на BC и K на AD заданы так, что AB = BM = KD, и ∠DAB = 30°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

Шаги решения (построение в координатах):

• Пусть AB = 1 (масштабируем), A = (0,0), B = (1,0). Пусть угол ∠DAB = 30°, значит AD имеет длину d и направление под углом 30° к AB. Тогда D = (d cos30°, d sin30°) = (d√3/2, d/2). Следовательно C = B + D = (1 + d√3/2, d/2).

• Точка M лежит на BC так, что BM = AB = 1. Длина BC равна AD = d, поэтому BM/BC = 1/d. Тогда M = B + (1/d)(C - B) = (1,0) + (1/d)D = (1 + √3/2, 1/2).

• Точка K лежит на AD так, что KD = AB = 1. Так как KD/AD = 1/d, а AD вектор равен D, то K = D - (1/d)D = (1 - 1/d)D = ((d-1)√3/2, (d-1)/2).

• Найдем отрезки AM и CK. Вектор AM = M - A = M = (1 + √3/2, 1/2).

  Вектор CK = K - C (или C - K, длина не зависит от знака). Возьмем C - K: C - K = (1 + d√3/2 - (d-1)√3/2, d/2 - (d-1)/2) = (1 + √3/2, 1/2). То есть AM и CK имеют одинаковый вектор: AM = CK.

Следовательно, длины отрезков AM и CK равны: AM = CK.

Угол параллелограмма:

• По условию ∠DAB = 30°. Противолежащий угол ∠BCD тоже равен 30°, а остальные два угла равны 180° − 30° = 150°. Ответ:
• Углы параллелограмма: 30° и 150°.
• Отрезки AM и CK равны: AM = CK.