X3 - 3x2 -13x + 15 < 0

Задача: x^3 - 3x^2 - 13x + 15 < 0 Пошаговое решение 1) Найдём корни многочлена - Пробуем целые корни по теореме о рациональных корнях: ±1, ±3, ±5, ±15. - Проверим x = 1: 1 - 3 - 13 + 15 = 0. Значит, (x - 1) — множитель. 2) Разложение на множители - Разделим x^3 - 3x^2 - 13x + 15 на (x - 1) (деление можно сделать интегрированным способом или синтетическим): Результат деления: x^2 - 2x - 15. - Дополнительно разложим квадратный многочлен: x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3). - Итак, факторизация: x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = (x - 1)(x - 5)(x + 3). 3) Анализ знаков - Корни: -3, 1, 5. Порядок: -3 < 1 < 5. - Старшая степень положительная, значит на минус бесконечности знак ниже, на плюс бесконечности — выше; знак чередуется между соседними корнями (множители — линейные). Проверим знаки на промежутках: - x < -3, например x = -4: (-4-1)(-4-5)(-4+3) = (-5)(-9)(-1) = -45 < 0. - -3 < x < 1, например x = 0: (0-1)(0-5)(0+3) = (-1)(-5)(3) = 15 > 0. - 1 < x < 5, например x = 2: (2-1)(2-5)(2+3) = (1)(-3)(5) = -15 < 0. - x > 5, например x = 6: (6-1)(6-5)(6+3) = (5)(1)(9) = 45 > 0. 2) Неравенство < 0 требует отрицательных значений функции. - Из полученных промежутков f(x) < 0 на: (-∞, -3) и (1, 5). - Так как неравенство строгое, исключаем корни: -3, 1, 5. Итоговое решение: x ∈ (-∞, -3) ∪ (1, 5) Проверка домашняя (наглядная): - x = -4: f(-4) = (-5)(-9)(-1) = -45 < 0 — подходит. - x = 0: f(0) = 15 > 0 — не подходит. - x = 2: f(2) = -15 < 0 — подходит. - x = 6: f(6) = 45 > 0 — не подходит. Если нужно, могу привести аналогичные примеры или объяснить метод факторизации подробнее.