M/m-n - n/m+n

Задача: вычислить и привести к единому дробному виду выражение M/(m−n) − n/(m+n).

Пошаговое решение:

1. Найдём общий знаменатель двух дробей. Общий знаменатель равен (m−n)(m+n) = m^2 − n^2.

2. Приведём к общему знаменателю:

• первая дробь умножается на (m+n)/(m+n): M/(m−n) = M(m+n)/[(m−n)(m+n)]
• вторая дробь умножается на (m−n)/(m−n): n/(m+n) = n(m−n)/[(m+n)(m−n)]

И вычитание даёт: [M(m+n) − n(m−n)] / [(m−n)(m+n)]

3. Раскроем скобки в числителе: M(m+n) − n(m−n) = (Mm + Mn) − (nm − n^2) = Mm + Mn − nm + n^2

4. Приведём подобные члены: Mm − nm = m(M − n), а Mn + n^2 = n(M + n)

Значит числитель можно записать как: m(M − n) + n(M + n)

5. Итоговая форма: M/(m−n) − n/(m+n) = [Mm + Mn − nm + n^2] / (m^2 − n^2) = [m(M − n) + n(M + n)] / (m^2 − n^2)

6. Ограничения области определения: Знаменатель не должен обнуляться: (m−n)(m+n) ≠ 0 → m ≠ n и m ≠ −n.

Пример (для наглядности; можно пропустить): Пусть M=7, m=5, n=2. Тогда E = 7/(5−2) − 2/(5+2) = 7/3 − 2/7 = (49 − 6)/21 = 43/21. По формуле: числитель = 7·(5+2) − 2·(5−2) = 7·7 − 2·3 = 49 − 6 = 43; знаменатель = (5−2)(5+2) = 3·7 = 21. Получаем 43/21.