Решить пример

Задача на определение области определения функции f(x) = √(x − 1) + 2/(x^2 − 9).

Пошаговое решение:

• Шаг 1. Требование к корню. Чтобы √(x − 1) существовала, аргумент под корнем должен быть неотрицательным: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1.

• Шаг 2. Требование к дроби. Чтобы дробь 2/(x^2 − 9) была определена, знаменатель не должен равняться нулю: x^2 − 9 ≠ 0 → x ≠ ±3.

• Шаг 3. Объединение условий. Из условия x ≥ 1 исключаем значение x = 3 (так как при x = 3 знаменатель нулевой). Таким образом, область определения — пересечение: [1, ∞) \ {3}.

• Шаг 4. Запись в виде объединения промежутков. Область определения f: [1, 3) ∪ (3, ∞).

Пояснения:

• Значение в точке x = 1 допустимо: √(1−1) = 0, дробь 2/(1−9) = 2/(-8) = −1/4.
• В точке x = 3 функция не определена из-за деления на ноль.
• При больших x обе части функции определены, поэтому интервал после 3 добавляется без разрыва.

Ответ: область определения: [1, 3) ∪ (3, ∞).