В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 4, AC = 2, BH− высота. Вписанная в треугольник ABC окружность второй раз пересекает высоту BH в точке K. Найдите BK : KH.

Решение 1) Размещаем треугольник. Пусть AC лежит на оси x, точки A(-1, 0), C(1, 0). Тогда высота BH падает на середину AC, т.е. H = (0, 0). Так как AB = BC = 4, найдём координту B на оси y: расстояние AB равно AB^2 = (0 + 1)^2 + (h - 0)^2 = 1 + h^2 = 16 ⇒ h^2 = 15 ⇒ B = (0, √15). А значит BH = √15. 2) Находим инцентр I и радиус вписанной окружности r. Стороны треугольника: a = BC = 4, b = CA = 2, c = AB = 4. Тогда координаты инцетра: I_x = (a·x_A + b·x_B + c·x_C) / (a + b + c) = (4(-1) + 2·0 + 4·1) / 10 = 0, I_y = (a·y_A + b·y_B + c·y_C) / (a + b + c) = (4·0 + 2√15 + 4·0) / 10 = √15/5. Значит I = (0, √15/5). Радиус вписанной окружности r равен расстоянию from I до стороны AC (y = 0): r = I_y = √15/5. 3) Пересечение высоты BH с вписанной окружностью. Уравнение окружности: x^2 + (y − r)^2 = r^2. На линии BH: x = 0. Тогда (y − r)^2 = r^2 ⇒ y − r = ± r ⇒ y = 0 или y = 2r. Следовательно, пересечения BH с окружностью: H = (0, 0) и K = (0, 2r) = (0, 2√15/5). 4) Найдём отношение BK : KH. BK = distance от B до K по оси y: √15 − 2√15/5 = √15·(1 − 2/5) = (3/5)√15. KH = distance от K до H: 2√15/5. Отношение BK : KH = (3/5√15) : (2/5√15) = 3 : 2. Ответ: BK : KH = 3:2.